ÜBER DIE (GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ÖRDNUNG. 13 
Hat eine einfache Curve ein Knoten- oder ein Spitzenpaar, so 
reicht Ein Paar Wendepunkte hin. Denn ein Knoten, so wie eine Spitze *), 
lässt sich als durch das Zusammengehen zweier Wendepunkte ent- 
standen betrachten, mit dem Unterschiede, dass das zwischen den ver- 
einigten Wendepunkten liegende Curvenstück beim Knoten von end- 
licher Grösse bleibt, bei der Spitze dagegen verschwindet. Siehe Fig. 3. 
und 3.*, wo durch den Buchstaben W die vorherigen Wendepunkte an- 
gedeutet werden. 
Eine Curve der letztgedachten Art wird unter andern erhalten, 
wenn man einen Hauptkreis in den Punkten A, B, A’, B’ in vier Qua- 
dranten theilt und über AB und BA’ zwei auf der einen, über A’B’ und 
B’A zwei auf der andern Seite des Hauptkreises liegende Halbkreise 
beschreibt. Denn die aus diesen vier Halbkreisen zusammengesetzte 
Curve wird eine einfache sein und in B und B’ Spitzen, in A und A’ 
-Wendepunkte haben. 
Ss. 1. 
Weniges bleibt noch über die Zwillingscurven hinzuzufügen übrig. — 
Ist A ein Punkt einer der zwei geschlossenen eine Zwillingscurve bil- 
denden Curven, so liegt A’ in der andern. Ein Bogen AB der einen 
Curve ist dem Bogen A’B’ der andern gleich und ähnlich, obwohl nicht 
auf ihn passend; und dasselbe gilt auch von den zwei Curven in ihrer 
Totalität. 
Da ferner ein durch A gelegter Hauptkreis auch den Punkt A’ trifft, 
und da eine geschlossene sphärische Gurve von einem Hauptkreise 
entweder gar nicht, oder in einer geraden Anzahl von Punkten durch- 
gangen wird, so wird eine Zwillingscurve von einem Hauptkreise ent- 
weder gar nicht, oder in einer geraden Anzahl Paare von Punkten 
*) Hier, so wie im Folgenden, ist unter Spitze ohne weiteren Zusatz stets eine 
sogenannte Spitze der ersten Art gemeint, d. h. eine solche, bei welcher die zwei 
die Spitze bildenden Curvenbögen ihre erhabenen Seiten einander zukehren. 
Eine Spitze der zweiten Art, als bei welcher die erhabene Seite des einen 
Bogens der hohlen des andern zugewendet ist, kann, wie hier noch bemerkt werden 
mag, erst bei Linien der vierten oder einer höhern Ordnung sich bilden. Denn eine 
an den erstern jener zwei Bögen sehr nahe bei der Spitze selbst gelegte Tangente 
schneidet den andern in zwei Punkten und hat daher, den Berührungspunkt als die 
Vereinigung zweier gedacht, mit der Gurve vier Punkte gemein. 
