ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 15 
eine gerade Anzahl Paare von Wendepunkten hat. — Eine 
Linie von ungerader Ordnung hat daher wenigstens ein Paar, und, da- 
fern sie keine Knoten oder Spitzen hat, wenigstens drei Paar Wende- 
punkte. 
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Ich kann diese allgemeinen Betrachtungen über sphärische Linien 
nicht verlassen, ohne noch auf einige der Folgerungen aufmerksam ge- 
macht zu haben, welche sich aus ihnen in Bezug auf ebene algebraische 
Linien, als die Projectionen sphärischer, ableiten lassen. 
Bezeichne y eine der Curven, aus denen eine sphärische alge- 
braische Linie zusammengesetzt ist, und zwar zuerst eine der zwei 
eine Zwillingscurve bildenden. Indem man sich dieselbe von einem 
Punkte P durchlaufen denkt, sei P die Centralprojection von P auf eine 
bestimmte Ebene, ce die von P in der Ebene beschriebene Curve, also 
die Projection von y auf diese Ebene; endlich sei » der mit der Ebene 
parallele Hauptkreis der Kugel. Wenn nun, wie dies bei einer Zwillings- 
curve möglich ist, die Curve y ganz auf der einen Seite des Haupt- 
kreises » liegt und ihm auch in keinem Punkte begegnet, so ist c eine 
ebene auf einen endlichen Raum beschränkte und in sich zurücklaufende 
Curve. — Trifft y den Kreis » irgendwo, ohne ihn zu durchgehen, so 
entfernt sich, wenn P an dieser Stelle anlangt, P in das Unendliche und 
kehrt von derselben Seite der Ebene her in das Endliche wieder zurück, 
und die Curve c erhält somit zwei nach einerlei Richtung sich in das 
Unendliche erstreckende Aeste. — So oft dagegen y den Kreis » nicht 
bloss trifft, sondern zugleich durchgeht, bilden sich in der Ebene zwei 
Aeste, die sich nach entgegengesetzten Richtungen im Unendlichen ver- 
lieren. Die Anzahl der Aestepaare letzterer Art wird aber gerade sein, 
day, als eine geschlossene Curve, von » in einer geraden Anzahl von 
Punkten durchgangen wird. — Es wird kaum nöthig seyn, hinzu- 
zufügen, dass die andere Curve, welche mit y in Vereinigung die Zwil- 
lingscurve bildet, dieselbe Projection c, wie y selbst, giebt. 
Anders verhält es sich, wenn y eine der einfachen Curven der 
sphärischen Linie ist. Heisse alsdann K der Punkt in y, von welchem P 
bei seiner Beschreibung der Curve ausgeht. Durch ihn und seinen 
Gegenpunkt K’ wird y.in zwei Hälften getheilt, deren jede die nämliche 
Projection hat, eben so wie die Projectionen von K und Ä einer und 
