ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 47 
Aeste hat, welche paarweise, nämlich ein Ast der einen und ein Ast 
der andern Hälfte, sich nach entgegengesetzten Richtungen erstrecken. 
Heissen A, B die letzten Punkte der zwei Aeste der einen Hälfte und 
A’, B’ die ihnen resp. gegenüberliegenden letzten Punkte der andern 
Hälfte. Man gehe nun in der erstern Hälfte von einem beliebigen Punkte K 
derselben aus bis B fort, springe hierauf von B nach B’ in die andere 
Hälfte, durchwandere diese ganz von B’ bis A’, springe dann von A’ 
nach A in die erste Hälfte zurück und gehe in dieser von A bis K. 
Somit hat man die Hyperbel ganz durchgangen und dabei zwei unend- 
liche Sprünge in das Entgegengesetzte gemacht. — Jede der drei For- 
men einer Linie der zweiten Ordnung muss sich daher auf der Kugel 
als eine Zwillingscurve abbilden. Vergl. 8. &. 
SL45; 
Um die gegenseitigen Beziehungen zwischen ebenen und sphäri- 
schen Curven noch augenfälliger darstellen zu können, wollen wir den 
Begriff geschlossener ebener Curven auch auf solche mit ausdehnen, 
welche unendliche Aeste haben, dafern nur ihre sphärischen Projectionen 
geschlossene Curven sind. Nennen wir ferner eine geschlossene ebene 
Curve, jenachdem sie zu ihrer Projection auf der Kugel eine einfache 
oder eine Zwillingscurve hat, eine Curve der ersten oder der 
zweiten Art, so können wir nach dem Bisherigen folgende Sätze 
aufstellen : 
1) Eine Curve der ersten (zweiten) Art wird von jeder in ihrer 
Ebene gezogenen Geraden in einer ungeraden (geraden) Anzahl von 
Punkten durchgangen, — hat daher eine ungerade (gerade) An- 
zahl Paare nach entgegengesetzten Richtungen laufender unendlicher 
Aeste*), — und hat eine ungerade (gerade) Anzahl von Wendepunkten. 
Da diese Sätze von exclusiver Natur sind, so gelten sie auch um- 
gekehrt, und es kann daher aus dem Vorhandensein irgend einer der 
drei gedachten Eigenschaften auf das Dasein der jedesmal zwei übrigen 
geschlossen werden, so dass z. B. eine geschlossene Curve mit einer 
ungeraden (geraden) Anzahl von Paaren entgegengesetzter Aeste eine 
ungerade (gerade) Anzahl von Wendepunkten hat. 
*) Weil jedes Paar solcher Aeste auf einen Durchgang der Curve durch die in 
ihrer Ebene unendlich entfernt liegende Gerade, — sphärisch auf einen Durchgang 
durch den Hauptkreis » ($. 13.), — hinzeigt. 
Abhandl. d. R. S. Gesellsch. d. Wissensch. I. 2 
