ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 49 
von « berührter Bogen abbildet, und dass ein parabolischer nach Q 
gerichteter Ast sich auf der Kugel als ein in Q endigender und daselbst 
von » berührter Bogen darstellt. Ergänzt man zuletzt die solchergestalt 
auf der einen Kugelhälfte construierte Curve durch ihre Gegencurve auf 
der andern Hälfte, so ersieht man die Beschaffenheit der nun vollstän- 
digen Curve in ihren Begegnungen mit », und wird damit die obigen 
Behauptungen bestätigt finden 
Geometrische Entwickelung der Grundformen der sphärischen Linien 
der dritten Ordnung. 
$. 16. 
Die voranstehenden allgemeinen Betrachtungen über algebraische 
Linien wollen wir jetzt auf die Linien der dritten Ordnung anwenden ; 
wir wollen die Curven, aus denen eine Linie dieser Ordnung zu- 
sammengesetzt ist, ihrer Zahl und Beschaffenheit nach zu bestimmen 
und dadurch die verschiedenen Grundformen der Linie selbst, soweit 
dieses ohne Zuhülfenahme des Calculs geschehen kann, zu ermitteln 
suchen. — Eine ähnliche Untersuchung für die Linien der zweiten Ord- 
nung vorangehen zu lassen, halte ich für überflüssig, da aus den nach- 
stehenden Betrachtungen über die Linien der dritten Ordnung sich zur 
Genüge ergeben wird, wie ähnlicherweise der Beweis zu führen ist, 
dass eine sphärische Linie der zweiten Ordnung eine einzige Zwillings- 
curve ($. 4.) ohne alle merkwürdige Punkte ist. 
Als Criterium für eine sphärische Linie der dritten Ordnung wird 
uns bei der nun folgenden Untersuchung der Satz dienen, dass eine 
solche Linie — wir wollen sie inskünftige kurz mit A bezeichnen — 
von einem Hauptkreise in drei Paaren von Punkten, oder in einem Paare 
geschnitten wird; dass daher ein sie in einem Punktenpaare berühren- 
der Hauptkreis sie in einem zweiten schneidet, nicht aber in einem 
zweiten berühren kann, und dass in dem besondern Falle, wenn der 
Hauptkreis die Linie A in einem Paare von Wendepunkten oder Knoten 
oder Spitzen berührt, er mit ihr kein zweites Punktenpaar gemein hat. 
SH 
Unter den Curven, aus denen }, als eine Linie von ungerader Ord- 
nung, zusammengesetzt ist, ist nach $. 12. 1. entweder eine, oder sind 
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