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drei, fünf u.s.w. einfache Curven enthalten. Es kann aber der 4 nicht 
mehr als Eine einfache. Curve — sie heisse & — zukommen. Denn da 
eine einfache Curve von einem Hauptkreise stets in einer ungeraden An- 
zahl von Punktenpaaren durchgangen wird (8. 9.), so trifft ein durch zwei 
Punktenpaare der Curve & gelegter Hauptkreis dieselbe noch in einem 
dritten Paare, und würde einer zweiten zu A gehörigen einfachen Curve 
wenigstens in Einem Punktenpaare, dem vierten, begegnen, was gegen 
das obige Criterium streitet. 
Unter der einstweiligen Annahme, dass in der zu A gehörigen ein- 
fachen Curve & keine Knoten oder Spitzen vorkommen, hat e nach 8.10. 
wenigstens drei Paare von Wendepunkten, oder fünf, oder sieben u. S. w. 
Es wird sich aber wieder mit Hülfe unsers Criteriums zeigen lassen, 
dass & nicht mehr als drei Paare solcher Punkte haben kann. 
Denn setzen wir, dass der Curve & fünf Paare zukommen, und 
nennen fünf Wendepunkte in der Ordnung, in welcher sie auf einander 
folgen: A,B, C,D, E; also die fünf übrigen in derselben Folge: A’, ... E”. 
Man ziehe einen die Curve in A und A’ berührenden Hauptkreis » und 
projiciere sie auf eine mit » parallele Ebene. Heissen B,C,... die Pro- 
jectionen von B und B’, C und C’ u. s.w. und e die Projection von & 
selbst. Weil » die & in dem Wendepunktenpaare A, A’ berührt, so hat 
die ebene Curve e zwei einander entgegengesetzte parabolische Aeste, 
welche auf einerlei Seite jeder mit ihnen in der Ebene der Curve 
parallelen Geraden a liegen (8. 15.); ausser ihnen aber nicht noch 
andere unendliche Aeste, indem sonst e von » noch in andern Punkten, 
als in A und A’, getroffen werden müsste, — gegen das Criterium. — 
Die Curve e wird sich daher vom letzten Punkte des einen parabolischen 
Astes bis zum letzten Punkte des andern ununterbrochen fortziehen und 
dabei in B, GC, D, E Wendungen machen. Die letzten Elemente der 
zwei Aeste, also auch die ihnen parallele Gerade a wollen wir uns 
horizontal denken und in der Ebene die Seite von a, auf welcher die 
Aeste liegen, als die untere vorstellen. Uebrigens wollen wir die Ge- 
rade so gelegt annehmen, dass die vier Wendepunkte B,... E sämmtlich 
auf ihre obere Seite fallen. Sie wird alsdann die e schneiden, aber nur 
in zwei Punkten, weil sie mit e schon ihren unendlich entfernten Punkt 
gemein hat. Heissen A, und A, die beiden Schneidepunkte, welche 
mit den vier Wendepunkten in ihrer Aufeinanderfolge die Reihe 
A,BCDEA;z bilden; A, liege zur Linken, Az zur Rechten. 
