ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 2A 
Weil sich die Curve e in A, über die Gerade a erhebt und in Aa 
wieder zu ihr hinabsenkt, so wird sie zwischen A, und Az einen oder 
auch mehrere höchste Punkte haben. Sie kann aber nicht mehr als 
einen haben. Denn hätte sie zwei höchste Punkte F und G (Fig. #.), 
und legte man an den niedrigern, welcher F sei, eine Tangente f, 
welche horizontal sein und den Punkt G über sich liegen haben würde, 
so müsste die Curve auf ihrem Wege von F nach G hin, weil sie von F aus 
zunächst unter f hinabsteigt, sich über f bis @ wieder erheben, dann aber, 
um die tiefere Horizontale a in Az (oder in A,) zu treffen, durch f zu- 
rückgehen müssen. Die in F an die Curve gelegte Tangente f würde sie 
daher in noch zwei Punkten schneiden — dem Criterium entgegen. — 
Eben so wenig können die zwei höchsten Punkte gleiche Höhe haben; 
denn alsdann würde die an den einen gelegte Tangente die Curve auch 
in dem andern berühren. 
Nun lässt sich ferner darthun, dass wenigstens eine der zwischen 
B und C an die Curve e gelegten Tangenten horizontal sein, und daher 
der Bogen BC wenigstens einen höchsten oder tiefsten Punkt haben 
muss. Denn wo nicht (Fig. #.*), so lege man an die Curve e eine sie 
in B selbst berührende Gerade t und drehe diese dergestalt, dass sie 
mit e in Berührung bleibt, und der Berührungspunkt von B bis G rückt. 
Weil B ein Wendepunkt ist, so hat die Gerade # in ihrer anfänglichen 
Lage drei nächstfolgende Punkte mit e gemein. Von diesen drei Punkten 
rücken bei der nachherigen Drehung von £ zwei, in Vereinigung bleibend 
und den Berührungspunkt bildend, von B bis C; der dritte gemeinsame 
Punkt von e und # geht nach der entgegengesetzten Richtung, also von 
B nach A, zu, auch wohl noch über A, hinaus in dem linken unend- 
lichen Aste fort, ohne jedoch bis zum letzten Punkte des Astes zu ge- 
langen, weil keine der Tangenten von B bis C horizontal, also keine 
mit der Richtung des Astes in seinem letzten Punkte parallel sein soll. 
Auch kann dieser dritte Punkt nicht nach B zurückkehren, weil der 
Bogen BC nach einer und derselben Seite zu hohl ist, und folglich 
keine an BC gelegte Tangente, mit Ausnahme der Tangente in B selbst, 
B treffen kann. Die bis G fortgedrehte Tangente £ würde daher dem 
linken Aste in einem von B nach A, zu gelegenen Punkte begegnen, 
welches aber, weil C ein Wendepunkt ist, dem Criterium widerspricht. 
Dieser Widerspruch fällt weg, wenn der Bogen BC zwischen 
seinen Endpunkten wenigstens Einen höchsten oder tiefsten Punkt hat. 
