PP) A. F. Mörıvs, 
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Hätte er aber einen tiefsten Punkt T, so müsste eine an T gelegte und 
daher horizontale Tangente die Curve e zwischen A, und T schneiden, 
weil A, tiefer als T liegt. Aus gleichem Grunde müsste diese Tangente 
die e noch einmal zwischen T und A 3 treffen, — gegen das Criterium. — 
Mithin kann der Bogen BC keinen tiefsten, sondern muss einen höch- 
sten Punkt haben. 
Vollkommen eben so zeigt sich, dass auch der Bogen DE einen 
höchsten Punkt haben muss, sobald man nur in den vorigen Schlüssen 
A,, B, C mit Aa, E, D und den linken Ast mit dem rechten vertauscht. 
Hiernach hätte aber die Curve zwei höchste Punkte, was dem vorher 
Erwiesenen entgegen ist. Mithin muss die Voraussetzung unrichtig sein, 
dass die Curve e fünf Wendepunkte hat; und noch weniger kann sie 
sieben oder mehrere haben. 
Es hat demnach auch die sphärische. Curve & nur drei Paare 
von Wendepunkten, von denen jedoch, wie schon bemerkt worden 
(8. 10.), zwei Paare zu einem Knoten- oder Spitzenpaare zusammen- 
gchen können. Auch würde sich durch ähnliche auf die Geometrie der 
Lage gegründete Betrachtungen, wie vorhin, geradezu darthun lassen, 
dass in der Curve g, wenn sie ein Knoten- oder Spitzenpaar und ein 
Paar Wendepunkte hat, nicht noch andere merkwürdige Punkte dieser 
Art vorhanden sein können. Uebrigens kann es nicht geschehen, dass 
in & alle drei Paare von Wendepunkten sich im einem Punktenpaare 
vereinigen, indem sonst die Curve von dem einen dieser beiden Punkte 
bis zum andern gegenüberliegenden ohne Wendung und ohne sich selbst 
zu schneiden, fortgehen müsste, welches nach 8. 10. nicht möglich ist. 
SS, 
Es bleibt jetzt noch zu untersuchen übrig, ob und wenn eine Linie 
der dritten Ordnung % ausser der einfachen Gurve &, welche ihr unbe- 
dingt zukommen muss, noch eine Zwillingscurve haben kann. Denn 
dass es nicht zwei oder mehrere sein können, folgt sogleich daraus, 
dass eine Zwillmgscurve mit einem Hauptkreise immer eine gerade An- 
zahl von Punktenpaaren gemein hat ($. 11.), und dass daher bei zwei 
Zwillingscurven ein durch ein Punktenpaar der einen und ein Punkten- 
paar der andern gelegter Hauptkreis den Curven in wenigstens noch 
zweı andern Paaren, also überhaupt wenigstens in vier Paaren be- 
gegnet — gegen 8. 16. — Aus gleichem Grunde erhellet, dass eine 
