ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 23 
zu ) gehörige Zwillingscurve, wenn anders eine solche bei 4 überhaupt 
möglich ist, von keinem Hauptkreise in mehr als zwei Punktenpaaren 
getroffen werden darf, dass sie also keine Wendepunkte, Knoten oder 
Spitzen haben darf, dass von den zwei einzelnen Curven, aus denen sie 
besteht, jede für sich ganz auf einer und derselben Seite, und folglich 
beide auf verschiedenen Seiten eines sie in einem Punktenpaare be- 
rührenden Hauptkreises liegen müssen, und dass endlich weder die 
einfache Curve & selbst, noch ein an e berührend gelegter Hauptkreis 
der Zwillingscurve begegnen darf, dass folglich die zwei einzelnen 
Curven der Zwillingscurve auf entgegengesetzten Seiten der einfachen 
liegen müssen. 
Hat nun die einfache Curve & drei gesondert liegende Paare von 
Wendepunkten, so kann, obschon nicht jederzeit, eine Zwillingsceurve 
noch statt finden. Um uns die Möglichkeit hiervon, wenn auch nur an 
nem sehr extremen Falle, begreiflich zu machen, wollen wir durch 
zw.. Punktenpaare von & einen Hauptkreis & legen, welcher der & in 
noch einem dritten Punktenpaare begegnen wird, und wollen annehmen, 
dass nicht nur alle übrigen Punkte von e in grosser Nähe von « liegen, 
sondern dass auch alle an & berührend gelegten Hauptkreise mit « sehr 
kleine Winkel machen, — wie dies unter andern der Fall sein würde, 
wenn in dem in 8.10. gegebenen Beispiele die abwechselnd an die eine 
und die andere Seite der sechs gleichen Abschnitte eines Hauptkreises 
gelegten Bögen insgesammt sehr flach, Theile eines von einem Haupt- 
kreise nur wenig verschiedenen kleineren Kreises, wären. — Alsdann 
_ wird jeder durch ein in der Nähe der Pole von « befindliches Punkten- 
paar gelegter Hauptkreis die g nur in einem Punktenpaare schneiden ; 
und wenn wir daher noch annehmen, dass die zwei einzelnen mit 
keinen merkwürdigen Punkten versehenen Curven der Zwillingscurve 
sehr klein, etwa zwei kleinere Kreise von nur geringem Durchmesser, 
sind, und dass die eine derselben in grosser Nähe des einen, mithin die 
andere in eben so grosser Nähe des andern Pols von « liegt, so wird, 
wie erforderlich, kein Hauptkreis die aus e und der Zwillingscurve 
zusammengesetzte Linie 4 in mehr als drei Punktenpaaren schneiden 
können. 
Hat dagegen die einfache Gurve & nur Ein Paar Wendepunkte und 
zum Ersatz der beiden andern ein Knoten- oder ein Spitzenpaar, so 
kann sie mit einer Zwillingscurve nicht verbunden sein. Denn weil in 
