2% A. F. Mösıus, 
einem Knoten zwei Curvenpunkte vereinigt sind, so wird ein durch das 
Knotenpaar gelegter Hauptkreis die e immer noch in einem andern 
Punktenpaare schneiden. Wäre daher noch eine Zwillingscurve vor- 
handen, so würde ein durch ein Punktenpaar der. letztern und durch 
das Knotenpaar in e gezogener Hauptkreis sowohl die Zwillingscurve 
als die e in noch einem Punktenpaare treffen, was gegen unser Criterium ° 
ist. — Und das von Knoten Gesagte gilt wörtlich auch von Spitzen. 
. 19. 
Nach diesem Allen, und wenn wir noch bemerken, dass die zwei 
einzelnen Curven einer Zwillingscurve sich zu zwei isolierten Punkten 
zusammenziehen können, hat jede Linie der dritten Ordnung eine der 
nachstehenden fünf Formen. Es besteht nämlich eine solche entweder 
4) aus einer einfachen Curve mit drei Paaren von Wendepunkten 
und aus einer Zwillingscurve ohne merkwürdige Punkte, oder 
2) aus einer einfachen Curve mit drei Paaren von Wendepunkten 
und aus einem isolierten Punktenpaare, oder sie ist 
3) bloss eine einfache Curve mit drei Paaren von Wendepunkten, 
oder 
4) eine einfache Curve mit einem Paar Wendepunkte und einem 
Knotenpaar, oder 
5) eine einfache Curve mit einem Paar Wendepunkte und einem 
Spitzenpaar. 
Ob nun alle diese fünf Formen, welche die sphärischen Linien der 
dritten Ordnung bei alleiniger Berücksichtigung des oft gedachten Cri- 
teriums haben können, ihnen auch in Folge ihrer algebraischen Gleichung 
zukommen, ist eine Frage, welche erst durch Rechnung entschieden 
werden kann. Für jetzt steht nur dieses fest, dass eine solche Linie 
keine Form haben kann, welche nicht unter diesen fünf mit enthalten 
wäre, dass sie also namentlich immer wenigstens ein Paar, und wenn 
zwei, auch ein drittes, aber nicht mehr Paare von Wendepunkten hat. 
Die folgende Untersuchung wird uns indessen auch von der algebrai- 
schen Wirklichkeit der erhaltenen fünf Formen überzeugen. 
Ich werde dabei von dem Algorithmus Gebrauch machen, den 
ich in meiner Abhandlung «über eine neue Behandlungsweise der 
