ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 31 
Nun ist für die der Curve mit dem F. kreis AB gememsamen Punkte 
20 ($. 20. 7.), und daher 
(a) a@® + by? + ha’y+lay? — 0. 
Die Punkte selbst aber werden durch 8A + yB ausgedrückt, nach- 
dem darin für das Verhältniss @:y die drei aus (a) folgenden Werthe 
/ 
desselben nach einander substituiert worden. 
Soll B einer dieser drei Punkte sein, soll also die Curve durch B 
gehen, so muss, weil sich der Ausdruck A + yB nur für x — 0 auf B 
reduciert, der Gleichung (a) Genüge geschehen, wenn man x — 0 setzt, 
und es muss folglich die Constante b — 0 sein. In der That reducirt 
sich damit (a) auf 
ax? + hx’y+lay?—0, 
wovon die linke Seite den Factor x enthält. Sondert man denselben ab, 
so kommt die Gleichung 
(b) aa” +hazy+ly’—0, 
durch deren Auflösung sich die beiden andern Durchschnitte der Curve 
mit AB ergeben. 
Soll noch einer derselben in BD fallen, soll also die Curve durch B 
gehen und daselbst von AB berührt werden, so muss aus gleichem 
Grunde, wie vorhin, = 0 sein, als wodurch sich (b) in die abermals 
mit dem Factor x begleitete Gleichung 
ax?’ + hay — 0 
verwandelt. Nach Division mit demselben findet sich für den noch 
übrigen Durchschnitt der Curve mit AB 
(az + hy—NI. 
Soll daher, wie gefordert wird, auch dieser noch mit B identisch 
sein, so hat man noch Ah — 0, also überhaupt die Coeflicienten von 
y°, xy” und &°y in (A) einzeln — 0 zu setzen. 
Bei einer solchen Lage des F. dreiecks gegen eine Linie der dritten 
Ordnung, dass b in einen Wendepunkt der Linie fällt, und sie daselbst 
von AB berührt wird, ist demnach ihre allgemeine Gleichung 
aa? + cz? +fy’z+g2’0 +iyz? + kza? + mayz —(, 
wofür wir auch schreiben können: 
(B) [fy’ + m& +iz)y| za + az? +kza? +92’ + 02? — 0, 
eine Gleichung, die sich durch nachstehende Betrachtungen noch weiter 
vereinfachen lässt. 
