ÜBER DIE (GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 35 
mittelbar aus der Gleichung (C*) fliesst, als nach welcher jeder Ab- 
scisse CQ zwei einander gleiche und entgegengesetzte Ordinaten 
QP’ und QP” zugehören. 
$. 25. 
Die sphärische Gurve, deren Gleichung (GC), und die ebene, deren 
Gleichung (C*) ist, liegen in einer und derselben den Punkt O zur Spitze 
habenden Kegelfläche, und es sind daher die Projectionen beider Curven 
durch Linien aus O auf irgend eine andere Ebene mit einander identisch. 
Da nun die Gleichung (€) dieselben Gurven, wie die allgemeine Gleichung 
(A), umfasst, indem sie aus (A) durch Annahme einer besondern Lage 
des F.dreiecks hervorgegangen, und da folglich aus der durch (C) aus- 
gedrückten sphärischen Curve nach den verschiedenen Werthen der 
in (G) vorkommenden Constanten und nach der verschiedenen Lage der 
Ebene, auf welche sie projiciert wird, alle möglichen ebenen Linien 
der dritten Ordnung entstehen können, so muss dasselbe auch von der 
durch (C*) dargestellten ebenen Curve gelten. 
“ In der That ist es die Gleichung (C*), aus welcher Newron in 
seiner Enumeratio linearum tertii ordinis die fünf von ihm 
sogenannten divergierenden Parabeln ableitet, fünf Curven, die, wie er 
hinzusetzt, mit ihren Schatten alle übrigen Linien der dritten Ordnung 
erzeugen, ebenso, wie jede Linie der zweiten Ordnung der Schatten 
eines Kreises ist. | 
Die fünf verschiedenen Formen aber, welche die mit der Gleichung 
(C*) construierte ebene Curve annehmen kann, erhält Newton un- 
mittelbar durch Betrachtung der drei Wurzeln der Gleichung 
(X) aa + Ba’ + ya +d—0. 
Denn entweder sind alle drei Wurzeln reell, oder nur eine reell und die 
beiden andern imaginär. Unter der erstern Annahme sind von den drei 
reellen Wurzeln entweder 
I. keine zwei einander gleich, oder 
II. die beiden kleinern, oder 
III. die beiden grössern, oder 
IV. alle drei einander gleich; wozu noch 
V. der Fall kommt, wenn die Gleichung (x) nur eine reelle 
Wurzel hat. 
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