ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ÜRDNUNG. 39 
zukommt. Ist hierin NO eine unendlich kleine Linie der ersten Ordnung, 
so wird y eine Linie von der noch höhern Ordnung N Die zwei 
symmetrischen Aeste der Curve werden daher in N, wo sich die vorige 
Schleife in eine Spitze zusammengezogen hat, von der Axe berührt 
(Fig. 11.). — Parabola cuspidata. 
Man bemerke noch, dass nicht ebenso, wie bei den Curven I., I. 
und V., auch bei II. und IV. zwei symmetrische Wendepunkte vor- 
handen sind, indem an die Stelle derselben bei IIl. ein Knoten und bei IV. 
eine Spitze getreten ist. Vergl. $. 10. Auch liesse sich der Mangel von 
Wendepunkten bei II. und IV. sehr leicht aus den Gleichungen dieser 
Curven nachweisen. 
84.27: 
Wir wollen jetzt die fünf parabolischen Curven I.,...V. auf die 
Kugel zurück projicieren. Denn somit, werden wir alle die verschiedenen 
Formen erhalten, welche eine sphärische Linie der dritten Ordnung 
ihrer Gleichung zu Folge annehmen kann. 
Weil jede der fünf Parabeln eine stetige Curve mit zwei nach ent- 
gegengesetzten Richtungen laufenden Aesten ist, so ist die sphärische 
Projection einer jeden eine einfache Curve ($. 1#.). Der unendlich ent- 
fernte Punkt der Aeste bildet sich als ein Wendepunkt *) dieser Curve ab. 
Nächstdem hat von den einfachen Curven, welche aus I. Il. und V. ent- 
springen, eine jede noch zwei andere Wendepunkte. Von diesen drei 
einfachen Curven, deren jede drei Wendepunkte hat, ist die erste noch 
mit einer Zwillingscurve und die zweite mit eimem isolierten Punkte 
begleitet. Die Curven III. und IV. aber stellen sich auf der Kugel als ein- 
fache Curven dar, von denen die eine einen Wendepunkt und einen 
Knoten, die andere einen Wendepunkt und eine Spitze hat. 
Wir sind somit auf die fünf in $. 19. erhaltenen Formen der 
sphärischen Linien dritter Ordnung zurückgekonmen und ersehen 
daraus, dass alle aus dem in $. 16. aufgestellten geometrischen Criterium 
fliessenden Formen dieser Linien sich bei den aus der allgemeinen 
Gleichung (A) ($. 21.) ergebenden Curven auch wirklich vorfinden. 
*) Statt zu sagen: ein Paar von Wendepunkten. Denn auch hier soll, wie in 
8. 20. 7) unter jedem Punkte einer sphärischen Curve zugleich mit sein Gegenpunkt 
verstanden werden. 
