ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ÜRDNUNG. 93 
2 —y—z setzt. Hiermit aber reduciert sich der allgemeine Ausdruck (2) 
auf aa+bB+rc(. 
Was noch die in der Figur mit S, T, U bezeichneten Punkte an- 
langt, so hat man in Folge der Gleichungen (A): 
96 +hH—=cGC — bB, mithn bBB+9G —=cC — hH 
= dem gemeinschaftlichen Punkte $ der Hauptkreise BG und CH, und 
wenn man daher für 9g@ oder hAH aus (k) ihre Werthe setzt: 
S=bB+cÜ—-aA, und eben so 
T=cC+zaA—bB, U=aA+bB— ct. 
Weil sich diese Ausdrücke mit neuer Anwendung von (%) auf 
S=ıl—uA,T=kK—bB, U=lL —cG 
reducieren, so liegen S, T, U in den Polaren AI, BK, CL ($. 29.). 
Noch folgt aus letzteren Ausdrücken, in Verbindung mit (6), dass 
AISV, BKTV, CLUV 
drei Systeme harmonischer Punkte sind. 
Anmerkung. Bei der jetzt angestellten Entwickelung von Eigenschaften der 
durch die Gleichung des dritten Grades (1) ausgedrückten Curve wurde von dieser 
Gleichung nichts anderes, als ihre symmetrische Beschaffenheit oder der Umstand in 
Betracht gezogen, dass in ihr die drei Veränderlichen x, y, z beliebig mit einander ver- 
tauscht werden können. Dieselben Eigenschaften müssen folglich auch der durch irgena 
eine andere Gleichung des dritten Grades in Verbindung mit dem Ausdrucke (2) bestimmten 
Curve zukommen, dafern nur die Gleichung bei gegenseitiger Vertauschung von ®, %, 2 
unverändert bleibt, wie etwa die Gleichung 
a +y’+2°’—0. 
Es muss demnach auch hier von den drei in einem Hauptkreise liegenden Punkten 
bB—cC,cC—aA, aA— bB, die man wie vorhin F, G, H nenne, jeder derselben, 
z.B. F, die Eigenschaft besitzen, dass der geometrische Ort des vierten harmonischen 
Punktes zu den zwei Endpunkten P’, P” einer dem F begegnenden Sehne und zu F ein 
Hauptkreis ist; es müssen der sonach dem F zugehörige Hauptkreis oder die Polare von F, 
wie wir ihn vorhin nannten, und die Polaren von G und H sich in einem Punkte 
=aA-+bB-+ cC schneiden; u. Ss. w. 
Dabei sind F, G, H hier gleichfalls die drei Wendepunkte der Curve. Denn für F 
oder bB — cC sind in dem allgemeinen Ausdrucke (2) die Veränderlichen x = 0 und 
3 — y. Wird aber in einer nach «, y, z symmetrischen Gleichung des dritten Grades 
© = 0 gesetzt, so erhält man eine nach y und z symmetrische Gleichung desselben 
Grades, also eine Gleichung von der Form 
iy’+3°)+ilyz+y2P)=0, 
und dieser geschieht Genüge für z3— — y. Mithin ist F ein Curvenpunkt. Ist nun P’ 
ein dem F unendlich naher Curvenpunkt, und schneidet ein durch F und P’ gelegter 
Hauptkreis die Curve nochmals in P" und die Polare von F in Q, so sind P', P", F, Q 
vier harmonische Punkte, und es muss nach der Natur der harmonischen Theilung, und 
weil P’dem F unendlich nahe ist, Funendlich nahe in derMitte zwischen P' und P” liegen. 
