54 A. F. Möpıvs, 
Es sind folglich P', F, P" drei nächstfolgende in einem Hauptkreise liegende Curven- 
punkte, und mithin F ein Wendepunkt. — Auf gleiche Art wird dasselbe für G und H 
bewiesen. 
Die jetzigen F, G, H sind demnach mit den vorhin eben so bezeichneten Punkten 
ganz identisch, also auch die jetzigen drei Polaren mit den vorigen, und der jetzige 
Durchschnitt der drei Polaren mit dem vorhin so genannten Centralpunkte. Nur darin 
findet ein Unterschied statt, dass bei einer Curve, welche durch eine von (1) ver- 
schiedene symmetrische Gleichung des dritten Grades dargestellt wird, die drei Haupt- 
kreise BC, CA, AB, obschon sie ebenfalls durch die drei Wendepunkte gehen, die 
Curve nicht in diesen Punkten berühren. 
Dass F, G, H stets die drei Wendepunkte sind, kann übrigens auch aus dem leicht 
zu beweisenden Satze gefolgert werden, dass, wenn F keiner der Wendepunkte, son— 
dern irgend ein anderer Punkt einer Linie der dritten Ordnung ist, der geometrische 
Ort des wie vorhin aus F zu bestimmenden Punktes Q eine Linie der zweiten Ordnung, 
nicht mehr der ersten ist. 
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Der allgemeine Ausdruck (2) eines Punktes geht in den Ausdruck 
(5) des Centralpunktes V über für e—=y==z. Letzterer wird daher 
ein Punkt der Curve selbst sein, wenn ihre Gleichung (1), sobald man 
2£—y—-z setzt, befriedigt wird. Wie man augenblicklich wahrnimmt, 
geschieht dies nur dann, wenn die Constante e — 3° ist. Die Gleichung 
lässt sich alsdann schreiben: 
(N) [3 («+y+2)]’ = ayz oder 4 (o+y+2) = Vayz 
und drückt somit aus, dass das arithmetische und das geometrische Mittel 
zwischen x, y, z einander gleich sind, — während die allgemeinere 
Gleichung (1) zu erkennen giebt, dass diese beiden Mittel überhaupt 
in einem constanten Verhältnisse, — Ve: 3, zu einander stehen. 
Es lässt sich aber in jenem speciellen Falle der Gleichung noch 
eıne andere merkwürdige Form geben. Man setze zu dem Ende 
DD nr Er 
Hierdurch wird die Gleichung (7) 
BP Hr— par —d0, 
und der Ausdruck (2), auf welchen sie zu beziehen ist: 
(9) apA+bg’B + cr?C. 
Es ist aber 
Wer Pr’ tape) 
und es geschieht daher der Gleichung (8) Genüge, wenn man r— — (p+9) 
setzt. Mithin ist p+q-+r ein Factor der linken Seite von (8), und man 
