ÜBER DIE (sRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 55 
kann folglich die Gleichung (7) als das Ergebniss der Rationalisierung 
vonp+qg+r=/, d.i. von 
(1) Ve + Yy + Vz —=0, 
ansehen. Diese letztere Gleichung, verbunden mit dem Ausdrucke (2), 
müsste daher die Curve, bei welcher e = 27 ist, ebenfalls darstellen. 
Allein merkwürdiger Weise ist alsdann der Centralpunkt nicht mehr ein 
zur Curve gehöriger Punkt, indem der Gleichung (41) durch »—y—z 
nicht mehr Genüge geschieht. Der Grund hiervon kann kein anderer 
sein, als dass bei der gedachten Rationalisierung zup+g-+r ein Factor 
hinzutritt, welcher eben jenen Punkt ausdrückt. 
In der That hat man eben so, wie (10), die identische Gleichung 
Bee een trier Pr. 
Addiert man hierzu die Gleichung (10), so kömmt: 
Pt tr’ — 3pgar— (p+g+n) [p+g+n)’— 3(gr+rp+Ppg] =°. 
Hiermit aber reduciert sich die Curvengleichung (8) auf 
ern Feten]. 
Auf solche Weise ist die linke Seite von (8) in zwei Factoren zer- 
legt, von denen der eingeklammerte nur dann Null wird, wenn p=q==r 
und folglich x = y —= z ist, d.h. für den CGentralpunkt V; und es muss 
folglich der andere Factor p+qg-+r, wenn man ihn null setzt, alle 
übrigen Punkte der Curve geben. 
Um noch zu zeigen, dass V ein isolierter Punkt der Curve ist, setze 
man die Exponenten der Verhältnisse p :r und q:r resp. = tund u, 
wodurch die homogene Gleichung (12) sich verwandelt in 
(12%) A +t+u) [1 —1)?+ (1 —u)’+ (t— u] =. 
Für V ist alsdann jede der beiden Grössen f und u = 4; für jeden 
andern Punkt der Kugelfläche, welcher dem V sehr nahe liegt, sind 
folglich t und u sehr nahe — A. Man sieht aber augenblicklich, dass 
mit Werthen von t und u, welche von 4 sehr wenig unterschieden sind, 
die Gleichung (12*) nicht befriedigt wird, und dass daher kein in un- 
mittelbarer Nähe von V liegender Punkt der Curve angehören kann. 
Die Gleichung (12) in Verbindung mit dem Ausdrucke (9), oder (7) 
in Verbindung mit (2), gehört demnach einer Linie der dritten Ordnung 
an, welche einen isolierten Punkt hat. Von (7) aber unterscheidet sich 
die noch einfachere Gleichung (11) bloss dadurch, dass der isolierte 
Punkt in ihr nicht mit begriffen ist. 
