ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 65 
mit den auf der Kugel statt findenden und in $. 36. erörterten Fällen 
springt in die Augen. 
8. 4. 
Dass eine sphärische Linie der dritten Ordnung mit drei Wende- 
punkten ausser der einfachen Curve noch eine Zwillingscurve hat, wenn 
ihre Characteristik g zwischen 0 und 1 fällt, also e> 27 ist, und dass die 
Zwillingscurve für g—1 oder e=27 sich in einen isolierten Punkt ver- 
wandelt, dies lässt sich auch leicht aus der Betrachtung der Scheitel oder 
der Durchschnitte der Linie mit den Polaren ihrer Wendepunkte folgern. 
Die Gleichung der Polare des Wendepunktes H ist & = y ($. 32.). 
Diese, verbunden mit der Gleichung der Linie (1), giebt für die gemein- 
samen Punkte der Polare und der Linie oder die in die Polare von H 
fallenden Scheitel: (22 +2)? —= ex”z, oder wenn man 2:2==p setzt: 
(pP) (A+p)’= ep. 
Ist daher p' eine Wurzel dieser eubischen Gleichung, so verhalten 
sich für einen jener Scheitel@:y:2=1:4:p', und er selbst hat den 
Ausdruck (p) aA+bB+y'cC. 
Da nun jede der drei Polaren die einfache Curve der Linie in einem 
Punkte und die Zwillingscurve, falls diese vorhanden ist, in zwei Punkten 
schneidet, die, wenn die Zwillingscurve sich immer mehr verengert, zu- 
letzt in einen isolierten Punkt zusammengehen, so wird die Linie entweder 
bloss aus einer einfachen Curve bestehen, oder noch mit einer Zwillings- 
curve, oder mit einem isolierten Punkte begleitet sein, jenachdem von 
den drei Wurzeln der Gleichung (p), oder der Gleichung 
g—eg+?2e=t, | 
wenn man 2-+p—=q setzt, entweder nur eine reell, oder alle drei reell 
und verschieden, oder zwei der drei reellen einander gleich sind. Ueber- 
einstimmend mit dem schon Bemerkten tritt aber bei letzterer Gleichung 
nach einer bekannten Regel der erste, zweite, oder dritte Fall ein, je- 
nachdem e — 27 negativ, positiv, oder null ist. 
Zusätze. a. Ist e—=27, und hat folglich die Linie einen isolierten 
Punkt, so reduciert sich (p) auf 
(PN? (p+8)— 0. 
Für den isolierten Punkt selbst ist daher p —=4, und für den in die 
Polare von H fallenden Scheitel R (Fig. 1&.) p = — 8. Zufolge (p?) ist 
demnach ersterer Punkt =aA+bB+cG, d. i. der Centralpunkt V 
($. 28. 7.), letzterer= aA+bB — cl. 
Abhandl. d. K.S. Ges. d. Wissensch. I. 5 
