ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ÜRDNUNG. 69 
eine Curve darstellt, bei welcher B ein Wendepunkt, AB die an den- 
selben gelegte Tangente und CA seine Polare ist. Wurde in (C) die Va- 
riable z constant gesetzt, so ergab sich ($. 24.) die Projection der Gurve 
auf eine mit dem F.kreise AB parallele Ebene ; und wenn dieser ebenen 
Curve statt der zwei andern Wendepunkte ein Knoten zukommen sollte, 
so musste in ihrer Gleichung das Aggregat der mit y nicht behafteten 
Glieder in Bezug auf x einen rein quadratischen Factor enthalten ($. 26.). 
Es wird daher (vergl. $. 5.) auch die durch (C) ausgedrückte sphärische 
Curve nur dann einen Knoten haben, wenn (C) sich auf die Form 
ya (n— Br) (2 ya)? 
reducieren lässt. Wie indessen schon aus $. 26. bekannt ist, reicht diese 
eine Bedingung noch nicht hin. Führen wir nämlich statt x eine andere 
Veränderliche 2,,—=2 — yz, ein und setzen y — # —= 6, so wird die 
Gleichung: (a) y’z = ar? (2, +0dz), 
und ‘der zugehörige Ausdruck wird: (#2, +y2) A+yB+zC, oder 
wenn wir yA+C=c,{, setzen: 
(B) z,A+yB+ec,26,. 
Nun geschieht der Gleichung («) Genüge für &, = 0 und y=, 
und es ist folglich C, ein Curvenpunkt. Ist aber x, sehr klein, und mithin 
sehr nahe „’—«0dr ?, so kann die Gleichung nur dann befriedigt werden, 
wenn das Product «6 positiv ; nicht, wenn es negativ ist. Im letztern Falle 
ist daher C, ein isolierter Punkt. Im erstern setze man ad — s*. Für ein 
sehr kleinesz, wird alsdann „= + ex, , welches die Gleichungen zweier 
Hauptkreise sind, deren jeder durch C, und einen dem €, sehr nahe lie- 
genden Gurvenpunkt geht, also die Gleichungen zweier die Curve in €, 
berührenden Hauptkreise. Mithin muss dann G, ein Knoten sein. 
Die Gleichung für eine sphärische Linie der dritten Ordnung mit 
einem Knoten ist demnach 
Yz—os? +e’r?z, 
und (#) der zugehörige Ausdruck; oder, wenn wir 
ER & 

o, — — und ZZ 
1 & &° 1 
j 4 X, a 
setzen, y’2, —=r, +7,?z,, die Gleichung, und Fi A+yB+= ei2,6, 
ac | 
I — ga:b.c setzen 
der Ausdruck; oder endlich, wenn wir A : ge: 

und die nicht mehr nöthigen Indices weglassen: 
(y) y’z—= x?” + x°z die Gleichung und 
(d) arA+byB + czC der Ausdruck. 
