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collinearen sphärischen (oder ebenen) Curven jedem Wendepunkte, 
Knoten, oder Spitze der einen Curve ein gleichartiger merkwürdiger 
Punkt in der andern entspricht, und dass zwei an zwei einander ent- 
sprechende Punkte beider Curven gelegte Berührungskreise sich gleich- 
falls entsprechen. Vergl. $. 5. 
Wenn demnach von zwei einander collinearen Linien der dritten 
Ordnung die eine drei Wendepunkte hat, so müssen der andern gleich- 
falls drei Wendepunkte zukommen. Da die auf den Ausdruck az A + 
byB-+.czC sich beziehende Gleichung einer solchen Linie, den in $. 42. 
betrachteten Fall ausgenommen, immer auf die Form Yayz—tg(c+y+2) 
gebracht werden kann ($. 35.), so sind je zwei solcher Linien, wenn sie 
einerlei Characteristik 9 und damit eine gemeinschaftliche Gleichung 
haben, einander collinear. Dabei entspricht der Centralpunkt aA+bB 
+ cG der einen dem Centralpunkte der andern, und, wie gehörig, die 
Punkte BB— cG, c@G — aA, aA — bB, d.i. die Wendepunkte ($. 31.) 
der einen, den Wendepunkten der andern, die F.kreise BC, CA, AB, 
d.i. die an die Wendepunkte der einen Linie gelegten Berührungskreise, 
denselben Kreisen bei der andern, u. s. w. Weil übrigens die Gleichung 
nach &, y, z symmetrisch ist, so kann man die Punkte A, B, € bei der 
einen Linie den gleichnamigen Punkten bei der andern, oder, was 
auf dasselbe hinauskommt, die drei Wendepunkte der einen den drei 
Wendepunkten der andern, in jeder beliebigen Folge entsprechend 
setzen, und es sind daher die beiden Linien auf sechs verschiedene 
Arten einander collinear. 
Da ferner, wenn zwei Linien, deren jede drei Wendepunkte hat, 
einander collinear sein sollen, die Wendepunkte der einen und die der 
andern, also auch die beiderseits von den Tangenten in den Wende- 
punkten gebildeten Dreiecke (ABC und A, B, C,) einander entsprechen 
müssen, so können die Linien, wenn sie verschiedene Characteristiken 
haben, und folglich ihre auf jene Dreiecke bezogenen Gleichungen nicht 
identisch sind, auch nicht einander collinear sein. 
Zwei Linien der dritten Ordnung, deren jede drei Wendepunkte 
hat, sind daher nur dann und dann immer, und zwar auf sechserlei 
Weise, einander collinear, wenn ihre Characteristiken einander gleich 
sind. Insbesondere sind es daher alle die Linien, welche eine Cha- 
racteristik — 1 und damit einen isolierten Punkt haben ($. 36.). 
Das jetzt von Linien mit drei Wendepunkten im Allgemeinen Ge- 
sagte gilt aber auch für den speciellen in $. #2. erörterten Fall, wenn die 
