ÜBER DIE (GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 7 
an die drei Wendepunkte F, G@, H gelegten Tangenten sich in einem 
Punkte € schneiden. Denn die auf den Ausdruck faF +9yG + kzC 
sich beziehende Gleichung einer solchen Linie, 2? —x2y (e — y), ist frei 
von einer erst noch zu bestimmenden Constante; mithin sind alle diese 
Linien einander collinear verwandt. Und da, wie aus $. 42. erhellet, die- 
selbe Gleichung hervorgeht, wenn statt Fund @ ein anderes Paar Wende- 
punkte zu F.punkten genommen wird, so können auch je zwei dieser Linien 
auf sechs verschiedene Arten einander collinear gesetzt werden. Endlich 
folgt unmittelbar aus dem Princip der Collineation, dass keine dieser Linien 
einer andern, bei welcher die Tangenten in den drei Wendepunkten sich 
nicht in einem Punkte schneiden, collinear sein kann. 
Was die mit einem Knoten versehenen Linien der dritten Ordnung 
anlangt, so sind diese insgesammt einander collinear, weil in ihrer auf 
den Ausdruck ctG +duD-+evE bezogenen Gleichung 8 tu» — (u +v)? 
($. #3.) keine erst noch zu bestimmende Constante vorkommt. 
Weil die Gleichung nach u und v symmetrisch ist, so können je zwei 
dieser Linien auf doppelte Weise auf einander bezogen werden. Hat man 
nämlich die eine Linie mit den vier Punkten 6, D,EundL,=c(@+dD 
+ eE, und die andere mit den vier ihnen resp. entsprechenden C,, D,, 
E, und L, construiert, so kann man auch E, dem D und D, dem E 
entsprechend setzen; d.h. die zwei Tangenten CD und GE am Knoten 
€ der einen Linie können willkührlich den zwei Tangenten am Knoten 
der andern entsprechend gesetzt werden. Je zwei solcher Linien können 
aber nicht noch auf eine dritte Art einander collinear sein, weil der 
Knoten GC und der Wendepunkt B der einen Linie und die durch diese 
Punkte an die Linie gelegten Tangenten CD und GE, BDE und BL 
denselben Stücken bei der andern entsprechen müssen. 
Eben so, wie alle Linien, welche einen Knoten haben, sind 
endlich auch je zwei mit einer Spitze versehene Linien einander 
collinear; denn in ihrer auf den Ausdruck aaA+byB + cz sich 
beziehenden Gleichung y?z — x? ($. kk.) ist keine willkührliche 
Constante enthalten. Dabei entsprechen der Spitze G, dem Wende- 
punkte B und dem Durchschnitte A der an G und B gelegten Tangenten 
der einen Linie die gleichnamigen Stücke bei der andern. Je zwei sol- 
cher Linien können aber auf unendlich viele Arten einander collinear 
gesetzt werden; denn der Punkt aA+bB + cÜ ist ein beliebiger Punkt 
der einen Linie, und für den ihm entsprechenden a, A, +b,B, +c,C, 
kann man jeden beliebigen Punkt der andern wählen. 
