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ÜBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. s1 
erkannt wird. Hat nämlich die zu beurtheilende Linie nur einen Wende- 
punkt und statt der beiden andern einen Knoten, oder eine Spitze, so 
gehört sie im erstern Falle zur sechsten, im letztern zur siebenten 
Gattung. Hat sie dagegen drei Wendepunkte, so lege man an diese 
Punkte drei Tangenten. Schneiden sich dieselben in einem Punkte, so 
ist die Linie zur fünften Gattung zu rechnen. Im entgegengesetzten Falle 
wird die Ebene von den drei Tangenten und von der die drei Wende- 
punkte verbindenden Geraden im Allgemeinen, d. h. wenn keine zwei 
dieser vier Geraden einander parallel sind, in zwei endliche Dreiecke, 
ein endliches Viereck und acht unendliche Theile zerlegt (Fig. 22.). 
Wird diese Figur auf die Kugel projiciert, so geben die zwei ebenen 
Dreiecke zwei sphärische Dreiecke und das ebene Viereck ein sphärisches 
Viereck; den acht unendlichen Theilen aber entsprechen auf der Kugel 
abwechselnd Drei- und Vierecke, so dass an die Seiten der Dreiecke 
bloss Vierecke, und umgekehrt, grenzen *). Da nun eine sphärische 
Linie der vierten Gattung sich durch alle Vierecke windet, so wird zu 
derselben Gattung auch die ebene Linie zu zählen sein, wenn ein Theil 
derselben innerhalb des endlichen Vierecks enthalten ist. Findet sich im 
Vierecke nichts von der Linie vor, so gehört sie zu einer der drei ersten 
Gattungen, und zwar zur zweiten, wenn sie einen isolierten Punkt hat; 
in Ermangelung desselben zur ersten, oder dritten Gattung. Um hierüber 
zu entscheiden, untersuche man auf die in $. 1%. angegebene Weise, ob 
die Linie aus einer einzigen Curve besteht, oder aus zweien zusammen- 
gesetzt ist. Denn im erstern Falle ist sie eine Linie der ersten, im letz- 
tern der dritten Gattung. 
Ein anderes Verfahren, um die erste und die dritte Gattung von 
einander zu unterscheiden, ist folgendes. Man sehe zu, ob die ebene 
Linie eine Curve, sie heisse A, enthält, welche, sich ununterbrochen 
(durch mit + bezeichnete, also dreieckige Räume) fortziehend, zwei nach 
entgegengesetzten Richtungen sich erstreckende unendliche Aeste hat. 
Beim Dasein einer solchen Curve unterscheidet sich nun eine Linie der 
ersten Gattung von einer der dritten dadurch, dass erstere aus A allein 
besteht. Ist aber eine Curve, wie A, nicht vorhanden, so zeichnet sich die 
dritte Gattung vor der ersten dadurch aus, dass sich bei ihr eine end- 
*), In der Figur sind die den sphärischen Drei- und Vierecken entsprechenden 
Räume resp. mit + und — bezeichnet. 
Abhandl. d. KR. S. Gesellseh. d. Wissensch. 1. 6 
