90 P. A. Hansen, ALLGEMEINE AUFLÖSUNG 
welche wiederum den Ausdrücken (5) zur Bestimmung der Unbekannten 
selbst analog sind. 5 
Um durch Anwendung der Ausdrücke (6) und (5) die Werthe der 
Unbekannten berechnen zu können, müssen durch Hülfe der Ausdrücke 
(2), (3), (k), etc. die Coefficienten (bb,1), (be,1), etc. (cc,2), etc. 0’, Q', etc. 
berechnet werden. Hier zeigt sich ein wesentlicher Unterschied zwischen 
der vorliegenden Aufgabe und der Auflösung des speciellen Systems 
von Gleichungen, worauf die Methode der kleinsten Quadrate führt. 
Wir haben hier, zufolge der Ausdrücke (2), (3), (#), etc. die folgenden 
Systeme von linearischen Gleichungen aufzulösen: 
a + (ba) — 0 
(aa) 
(aa) &' + (ba) 8 + (ca) — 0 
(ab) «+ (bb) £ + (eb) = 0 
(aa) «+ (ba) B+ (ca) 7° + (da) — 0 
(ab) a" + (bb) 8" + (cb) 3" + (db) = 0 
(ac) @ + (be) 6" + (cc) y + (de) — 0 
etc. 
die sich von dem ursprünglichen System darin unterscheiden, dass die 
Goefhicienten, die dort in horizontaler Reihe stehen, sich hier in verticaler 
befinden, und umgekehrt. Bei der Auflösung der Gleichungen, die 
die Methode der kleinsten Quadrate giebt, haben im Gegentheil die den 
vorstehenden correspondirenden Hülfsgleichungen die nämliche Form 
wie die gegebenen, welches man leicht erkennt, wenn man (ba) — (ab), 
etc. macht. 
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Um die Auflösung der eben angeführten Gleichungen zu bewerk- 
stelligen, wollen wir im Allgemeinen ein System von Gleichungen be- 
trachten, in welchem die Coeflicienten der horizontalen Reihen denen 
der verticalen im ursprünglichen System, und umgekehrt, gleich sind, 
und dieses System in Bezug auf das ursprüngliche das reciproke System 
nennen. Sei daher das reciproke System das folgende: 
m 
(aa) y. + Kba) gr Jeaaı (da) ve 
(ab) y + (06) y’ + (eb) y’ + (db) y’ + ei. + r = 
N are yrll)yret+r —0 
(ad) y + (bd) y’ + + (ed) y' + (dd) y"+etc. + r"— 0 
etc. eic. 
