10% P. A. Hansen, ALLGEMEINE AUFLÖSUNG 
12. 
Es ist noch der Fall zu erörtern übrig, wo in dem gegebenen 
System von Gleichungen Eine Gleichung oder mehrere in den übrigen 
enthalten ist, oder diesen widerspricht, und es also unmöglich ist, die 
Unbekannten aus diesem System von Gleichungen zu bestimmen. Es 
kommt darauf an, die Kennzeichen anzugeben, wodurch dieses in den 
beiden vorstehenden Auflösungen sich ausspricht, so wie die Bedingungs- 
gleichungen selbst zu finden. 
Bezeichnen wir die n Gleichungen (1) zur Abkürzung mit v—0; 
vV—0;v”"—0;0v"—0, etc. und n von den Unbekannten unabhängige 
Factoren mit f; fi; fi; f; ete., so besteht bekanntlich das analytische 
Kriterion des Umstandes, dass eine der gegebenen Gleichungen in den 
übrigen enthalten ist, oder ihnen widerspricht, darin, dass sich für die 
Factoren f; f'; etc. ein System von Werthen finden lässt, wodurch 
f+fvV +fv +fv +etc. — 0 oder — constante.... (F) 
wird, und wenn keine der gegebenen Gleichungen in den übrigen ent- 
halten ist, oder ihnen widerspricht, so ist eine Gleichung wie (F) un- 
möglich. Wenn zwei oder mehrere der gegebenen Gleichungen in den 
übrigen enthalten sind, oder ihnen widersprechen, so lassen sich eben 
so viele Systeme von Werthen von f; f;; etc. finden, deren jedes eine 
Bedingungsgleichung wie (F) bildet. 
Da das Vorhandensein von mehreren Bedingungsgleichungen (F) 
die Sache in Bezug auf die Unauflösbarkeit der gegebenen Gleichungen 
nicht ändert, so brauchen wir im Folgenden nur den Fall zu betrachten, 
wo eine Bedingungsgleichung vorhanden ist. 
Nehmen wir zuerst an, dass von den Factoren f; f'; ete. keiner 
— 0 ist; substituieren wir für v; v'’; etc. die Gleichungen (1) in (F) und 
setzen dıe Goefficienten einer jeden Unbekannten, wie für das Erfülltsein 
von (F) nothwendig ist, gleich Null. Dadurch erhalten wir die folgenden 
n Gleichungen : 
(aa) f' + (ba) f + (ca) f7+ (da) f + ete. 0 
(ab) f + (bb) f' + (cb) f" + (db) f" + etc. —= 0 
(ae) f + (be) f + (ce) f" + (de) f" + et. —0 + (@ 
(ad) f + (bd) f' + (cd) f' + (dd) f" + etc. — 0 
