12% P.A. Hansen, ÜBER DIE ENTWICKELUNG DER Grösse (— 2a MH +0?) —* 
dieser Entwickelungscoefficienten folgt, die darin besteht, dass man, 
wenn man den Coefficienten von a” mit U, (H) bezeichnet, das Product 
der m'®" Differentialquotienten von U, (x) undU,, (y) durch einen endlichen, 
von den Differentialquotienten der Function U, (xy) abhängenden Aus- 
druck darstellen kann. Dass man mit andern Worten das Product zweier 
resp. von den Argumenten x und y abhängigen Functionen durch die 
vom Product xy abhängige Function und ihre Differentialquotienten ver- 
mittelst eines endlichen Ausdruckes darstellen kann. 
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Um diesen Satz alu DET) sel 
1—2a@x0+0°) Ü)+HeU,(X) +a’U, (x) + etc. 
Man weiss, dass U, De eine ganze ind rationale Function von & von der 
n‘®" Ordnung ist, deren Ausdruck nach den Potenzen von x geordnet 
der folgende ist: 
123.58 Dellzei hr n__N. n— nr? n. zu n—2 . ns 
U,( )= 1.2.3. n 12 18 Fre +3 .2 n—1.2n— 
Der m“ Differentialquotient dieser Function ıst dem zu Folge eine 
ganze und rationale Function von x von der (n— m)“ Ordnung, und es 
ist u zu sehen, dass man diese auf folgende Form bringen kann: 
am U 5 
m Un ( fmn—ı —m—2 2 \Ym-n—m—A 
a 2 — A ler" +B(®—1)a” +4 —1)’x + etc.! 
Wenn man in diesem Ausdruck die Potenzen von &°—1 entwickelt, 
jenen mmal differentiert, und dann die gleichartigen Glieder mit einander 
vergleicht, so ergeben sich die Werthe der unbestimmten Coefficienten 
A, B, G, etc. Dieser Weg ist aber umständlich, und man gelangt ein- 
facher und direct zur Kenntniss dieser Coefficienten, wenn man ein 
Theorem von Jacobi zu Hülfe nimmt. Diesem zu Folge ist 
am Un (x) 4 n—m+1...n+m arm (a —A)r 
dem Ta hm... m dan—m 
Den angedeuteten Differentialquotienten findet man leicht, wenn man 
in (2° —1)*, x in «+ dx verwandelt und durch den Binomischen Satz 
den Coefficienten von de”=” sucht. Es ist erstlich 
((+ de)? —1)" — (0? —1 +20 de + der)" — 
(+22 AR)" + (01422 da) dar" (1 +20da)" det... 
und wir brauchen daher ferner noch 
das mit de”=”  multiplicierte Glied in («?— 1 +2 xdx)” 
a a ra “ „mn (a1 +2 0de)r—1 
a ’ »  » (a1 +2 0de)”n 

Er +etc.| \ 


