NACH DEN POTENZEN VON «. 129 
sei, und haben einem bekannten Theorem zu Folge für die Bestimmung 
der Coeflicienten «, den folgenden allgemeinen Ausdruck 
1 (® ’ 
— Un (H) cos m (| — 6) d (0 — 0) (ß) 
Um dieses Integral zu ermitteln, setze ich 
c08 0 —4, cos y—y 
woraus 
H = xy + sin © sin w cos (0 — 6") 
hervorgeht. Setzen wir nun erstlich H — xy, und sehen das zweite 
Glied des vollständigen Ausdrucks von H als einen Zuwachs des ersten 
an, so können wir diesen strenge durch das Taylorsche Theorem er- 
mitteln, welches in diesem Falle auf eine endliche Anzahl von Gliedern 
führen muss. Wir erhalten rn 
U, (H) — U, (ay) + 2% sin o sin a cos (d — 6") 


d® 
+4 nr sin” @ sin? y cos’ (4 — 6) (7) 
A d” Un (xy) n ur n ; 
+....+ Tas day sin” & sin vw Cos (0 —#) 
Die Substitution dieses Ausdruckes in (£) führt auf Integrale von der 
Aal il. cos? (d— 0) cos m (A — 6”) d (d — #') 
o 
Aber es ist allgemein 
gl... Ir rı 
“[? cos? z cos med — —- en 
Jo ER BEER ı= 

wenn qg>m, und q und m zugleich entweder gerade oder ungerade sind. 
In allen andern Fällen ist das Integral — 0. Die Substitution von (y) in (£) 
giebt daher vermittelst dieses Satzes sogleich 




SE sin mw. sin my am Un (xy) 
Um 7 2.4..2m d (ay) m 
+ 1 sinmt?o.sinmt?y dmt? Un (ay)_ 
2 2.4...2m+2 d (cy) m+? 
1B Aı sinmtio.sin m+4y  dm+ Un (zy) 
2 %.4...2m+4 d (ay) m+4 
fL 4 sin er, w.sinmtöy damt6Un (ay)_ 
2.4.6 2.4...2m+6 dlaymte 
+. eic. 
Erwägt man nun, dass 
1 — x? = sin ?o, 1 — y? = sin ?y 
und vergleicht man diesen Ausdruck von «,„ mit der Gleichung (B), 
so ergiebt sich auf den ersten Anblick, dass 
FRTESIn" a. sin®y am Un (x) am Un (y) 
ie n—mH+i..n+m day m dym 
womit unsere Aufgabe gelöst ist. 

