192 C. F. Naumann, ÜBER DIE CYCLOCGENTRISCHE ÜONCHOSPIRALE 
äussern Spirale. Es liessen sich jederseits vier Windungspunkte be- 
stimmen, und die Messung ergab folgende Elemente: 
Windungsabstände Diameter 
ab’ — 9,05 mm. ab' —22,90 mm. 
bild Rh bb —16,05.% 
se ll bc 10,80 
can Mi BDa«., Ce nl, 2 
RE TEEN dv; 1908 
ab 00h ddı==u2; 908; 
Die Windungsabstände, mit Ausnahme des letzten Abstandes a’b', führen 
auf den Quotienten g — 2, welche Zahl noch weit genauer aus den 
Differenzen der Diameter folgt. Nur der äusserste Theil der letzten 
Windung strebt einem kleinern Quotienten entgegen, wie das Ver- 
hältniss von b’c’ : a’b' lehrt, weshalb denn auch der Diameter a’a ausser 
Acht gelassen worden ist. Es bestätigt sich sonach an diesem dritten 
Individuum, dass Planorbis corneus den grössten Theil seiner Schale 
nach dem Quotienten 2 bildet, zuletzt aber in einen kleinern Quotienten 
übergeht. 
Die Windungspunkte d’ und d gehören übrigens schon zu der 
innern Spirale, wie die nachfolgende Rechnung lehrt. 
8. 1. 
Berechnung der Spirale. 
Die an den beiden vollständigen Exemplaren Nr. I. und II. an- 
gestellten Beobachtungen berechtigen wohl ohne Weiteres zu der An- 
nahme, dass auch das Exemplar III. in seinem Innern nach einer loga- 
rithmischen Spirale vom Quotienten p —= 3 gewunden gewesen sei. 
Setzen wir nun auch den Werth von « abermals — 0,125 mm,, so führen 
die duplodistanten, singulodistanten und semissodistanten Diameter von 
ab. bis dd auf den Mittelwerth von M (S. 5.) 
M = 0,68 mm. 
Aus diesem Werthe, welcher mit dem in 8. 9. für das Exemplar Nr. 1. 
gefundenen völlig übereinstimmt, folgt also eben so wie dort: 
u — 2,542 
«@ — 2,0% mm. 
H — 1,36 mm. 
