ZuSÄTZE ZUM FLORENTINER PROBLEM. k63 
Zuge beschreiben lässt, für gebrochene Werthe von n aber in spiralen- 
förmigen Windungen von der Peripherie des Kreises nach dem Centrum 
läuft, dort eine Schlinge oder Spitze bildet, hierauf zur Peripherie zu- 
rückkehrt, um in einer zweiten Windung wieder durch das Centrum zu 
gehen und abermals eine Schlinge zu bilden u. s. f. 
Hierbei mag nicht unerwähnt bleiben, dass den Fall, wo n — +, 
schon Pappus (Collect. math. IV, 30) untersucht und gefunden hat, dass 
der Theil der Fläche einer Halbkugel, der zwischen ihrem Grundkreis 
und einer Spirale liegt, die von einem beweglichen Punkte auf einem 
Quadranten während einer Umdrehung beschrieben wird, dem Quadrat 
des Durchmessers gleich ist; wie sich aus dem Ausdruck für © in Nr. 24 
sofort ergiebt, wenn n—1 gesetzt und, da jener Ausdruck sich auf die 
ganze Kugel bezieht, das Resultat halbirt wird. Den körperlichen Raum, 
der zwischen dieser Fläche und ihrer senkrechten Projection auf den 
Grundkreis liegt, giebt a. a. O. die Formel für $ gleich 3 vom Cubus 
. des Durchmessers. 
29. 
Unabhängig von der Beschaffenheit der Zahl n aber lässt sich zei- 
gen, dass die Durchschnittslinie der über der Curve r = a cos np er- 
richteten Cylinderfläche mit der Kugelfläche nach einem sehr einfachen 
Gesetz durch Bewegung erzeugt werden kann, und hieraus die Mannig- 
faltigkeit der Gestalten, die der Gleichung r = a cos np entsprechen, 
übersehen. Sind nämlich z, y, z die rechtwinkligen Coordinaten eines 
beliebigen Punktes jener Durchschnittslinie, also &, y die Coordinaten 
ihrer Projection auf die @y-Ebene, d. i. der Curve r = a cosnp, so ist 
E—TCOSP —AC0SNPCOSY; Y=rsnp—4Ccosng sing; 
z=V®e —  — y —=asinnp. 
Wenn nun in Fig. 100 =x, PO —=y, MP=z, so kann, wie 
in Nr.3, LMOP die Breite, LPOQ die Länge des Punktes M auf der 
Kugelfläche genannt werden. Dann ist 
LP0Q—=arctg*—=g; LMOP—= arc sin -— np. 
Bewegt sich also ein Punkt auf der Kugelfläche so, 
dass immer seine Breite zu seiner Länge in einem con- 
stanten Verhältniss n:A steht, so beschreibt er eine 
Curve, deren Projection auf die Aequatorebene die Glei- 
Abhandl. d. K. S. Ges. d. Wissensch. 1. 3 
