ZUSÄTZE ZUM FLORENTINER PROBLEM. 477 
Hieraus ergiebt sich nun unmittelbar 
wu u 
5+S5, +5 = cos« [b? 19 dp — 4b sin « [or dg) 
— 0,0080, ©; 
2. 
Hiernach drückt nun die Gleichung S+ S + S’—aS& eine den 
Oberflächen der Kugel, des geraden Cylinders und ge- 
raden Kegels gemeinsameEigenschaft aus, wenn © einen Theil 
dieser Flächen bedeutet, der von einer auf denselben gezogenen beliebi- 
gen Curve, den Durchschnitten der Flächen mit der Basis und zwei 
durch ihre Axe gelegten, gegen einander beliebig geneigten Ebenen 
begrenzt ist; wenn ferner S, 5’, $° die cylindrisch-prismatischen Räume 
bezeichnen, welche zwischen © und den Projectionen dieses Flächen- 
theils auf die Ebene der Basis, auf die eine der so eben erwähnten, 
durch die Axe gelegten Ebenen und auf eine zweite, ebenfalls durch 
die Axe gehende, gegen die erste senkrechte Ebene enthalten sind; 
endlich «a der Abstand der die Oberfläche des Körpers durch Rotation 
erzeugenden Linie (für die Halbkugel der Quadrant, für Cylinder und 
Kegel die Seitenlinie) vom Mittelpunkt der Basis ist. Dividirt man beide 
Theile der obigen Gleichung durch drei, so ergiebt sich der Satz, dass 
das arithmetische Mittel aus den drei Räumen S, $S/, $' 
gleich ist einer Pyramide, deren Basis = © und Höhe = a. 
Denkt man sich auf der Oberfläche der genannten drei Rotations- 
körper eine zweite Curve gezogen, welche, wie die erste, die Durch- 
schnittslinien der beiden durch die Axe gelegten Ebenen mit der Ober- 
fläche (z.B. AK, DL Fig. 6) treffe, ohne jedoch innerhalb dieser Grenzen 
die erste Curve zu schneiden, so ist, wenn ©,, S,, 5,, S; für sie die- 
selbe Bedeutung haben, wie ©, $, $', $' für die erste, wie zuvor, 
5, +5, +5 = a6©,; daher 
SENSE NE N=a5—V). 
Da nun © — ©, der zwischen den beiden Curven und denselben übri- 
gen Grenzen wie © und ©, enthaltene Theil der Oberfläche ist, $ — S,, 
S'— $\, $S’ — S| aber die zwischen diesem Flächentheil und seinen 
drei Projectionen enthaltenen Räume bedeuten, so gilt der obige 
Satz auch für den durch diese beiden Gurven begrenz- 
ten Flächentheil S— ©.. 
