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Treffen sich beide Curven in den durch die Axe gelegten Ebenen, 
deren Durchschnitte mit der Oberfläche die Figuren © und ©, begrenzen, 
so ist © — ©, die Fläche eines von den Curven allein eingeschlossenen 
Bilineums. Sind nun die beiden Curven nur die Theile einer und der- 
selben Curve, so wird © — ©, die Fläche einer von einer ein- 
zigen, in sich zurücklaufenden krummen Linie auf der 
Oberfläche eingeschlossenen Figur, für die also der Satz 
ebenfalls gilt. 
Der Satz lässt sich überhaupt für jede von beliebig 
vielen Gurven eingeschlossene Figur auf der Oberfläche 
der drei Körper erweisen. Denn jede solche Figur wird sich 
immer durch eine algebraische Summe von Figuren ausdrücken lassen, 
für die, nach dem Vorstehenden, der Satz gilt. 
k3. 
Es erhebt sich hier nun weiter die Frage, ob diese den genannten 
drei Flächen gemeinsame Eigenschaft noch andern Rotationsflächen zu- 
kommt. Um sie zu beantworten, sei (Fig. 9) OG die Rotationsaxe, mit 
welcher die Axen OA, OB, sowie unter sich, rechte Winkel machen ; 
AE die in der Ebene AOG liegende, die Rotationsfläche erzeugende 
(krumme oder gerade) Linie; PMF die Lage dieser Linie, nachdem sich 
ihre Ebene um den Winkel AOP = g gedreht hat; M ein beliebiger 
Punkt dieser Linie, dessen rechtwinklige Coordinaten OO —=x, QN = y, 
NM —=z; KML eine durch M gehende beliebige Curve auf der Rotations- 
fläche; die Fläche der Figur AKLD, welche von dieser Curve und den 
Durchschnitten der Ebenen AOB, AOC und DOC, von denen die letztere 
mit der ersteren den Winkel DOA — u bildet, begrenzt wird, —= ©; 
endlich seien, wie zuvor, S, $', $' die zwischen © und dessen Pro- 
jectionen auf die durch die drei Axen gelegten Ebenen enthaltenen cy- 
lindrisch-prismatischen Räume. Nelımen wir nun an, die Projection 
der Curve KML auf die Ebene AOB sei durch die Gleichung r = f(p) 
zwischen den polaren Coordinaten AON — g und ON —r bestimmt, 
und bezeichnen den Neigungswinkel des Flächenelements dS gegen 
dr d 
dieselbe Ebene AOB durch v, so ist dJS— "7, oder da, wenn 
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die Gleichung der erzeugenden Linie z—=y({r), cosv — — It, 
Y: + gr 

