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Hiernach ist also die Erzeugende der Rotationsfläche, welche die in 
Rede stehende Eigenschaft hat, entweder ein Kreis, oder eine densel- 
ben berührende Gerade, die unter einem beliebigen Winkel gegen 
die Axen, auf die sich r und z beziehen, geneigt ist und für c—= 0 ın 
eine Parallele zur z-Axe übergeht. Die Rotationsfläche ist demnach ent- 
weder die Fläche einer Kugel, oder die eines geraden Kegels oder 
eines geraden Gylinders. Hierdurch ist nun erwiesen, dass aus- 
ser diesen keine andere Rotationsfläche die vorgedachte 
Eigenschaft besitzt. Für die Gylinderfläche wird $S— 0, weil 
bei dieser r — f(p) — «a ist, mithin in dem Ausdruck von $ die Gren- 
zen des Integrals von y(r) r dr zusammenfallen. 
kk. 
Wir können uns nun auch noch die allgemeinere Frage stellen, ob 
es ausser den gefundenen drei Rotationsflächen noch andere Flächen 
überhaupt giebt, die mit ihnen die mehrerwähnte Eigenschaft theilen. 
Hierbei wird es offenbar nur darauf ankommen, zu untersuchen, unter 
welchen Bedingungen allgemein d$S + dS’ + dS" — ad® ist. 
Seien &, y, z die rechtwinkligen Coordinaten eines beliebigen Punk- 
tes der gesuchten Fläche, so ist, wenn v, v', v" dieselbe Bedeutung ha- 
ben, wie zuvor, 
dS —zcosvdS, dS' —ycosvdS, dS’ — xcosv dS; 
folglich da, wenn zur Abkürzung = za, n — g gesetzt wird, bekanntlich 
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und dS — dedyV1+pP+Q, 
dSs — zdedy, dS' — — qydaxdy, dS’ — — paedıdy. 
Es wird demnach die obige Bedingung immer erfüllt werden, wenn 
— pe+y)—aYi+p+g. 
Dieser Differentialgleichung kommt aber, wie zuerst Lagrange (Me- 
moires de l’ Acad. de Berlin 177%) erwiesen hat, als completes Inte- 
gral die Gleichung 
z— Hey avi+e+c? 
zu, in der e und ce’ die beiden willkürlichen Constanten bedeuten, ausser- 
dem aber noch als particuläre Auflösung die Gleichung 
2 FrYP+PeR. 
