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C'est  peut-être  la  nécessité  où  il  s'était  vu  de  s'appuyer,  dans 
son  mémoire  de  1841,  sur  une  propriété  donnée  par  l'analyse, 
qui  a  engagé  Brasseur  à  rechercher  une  démonstration  pure- 
ment synthétique  de  toutes  les  propriétés  des  surfaces  du  se- 
cond degré  :  c'est  ce  qu'il  a  fait  en  1842,  dans  son  mémoire 
SUn  LA  DOUBLE  GÉi\ÉnAT10N  DES  SURFACES   DU   SECO:<0  DEGRÉ  PAU 
LE  MOUVEMENT  d'uN  CEnCLE. 
Il  s'agissait  d'abord  de  trouver  une  génération  de  ces  sur- 
faces, appropriée  au  mode  synthétique  de  démonstration  qu'il 
avait  en  vue.  L'auteur  arrive  à  une  double  génération  au  moyen 
de  la  circonférence  ;  il  la  démontre  par  une  propriété  simple  et 
nouvelle  de  deux  cordes  antiparallèles  se  coupant  dans  une 
conique,  propriété  qui  a  pour  conséquence  immédiate  que  les 
deux  séries  de  circonférences,  ayant  pour  diamètres  et  pour 
projections  deux  systèmes  de  cordes  antiparallèles,  constituent 
une  même  surface. 
Cette  double  génération  le  conduit  à  la  classification  des 
surfaces  du  second  degré,  au  centre,  aux  plans  principaux,  aux 
plans  tangents,  aux  sections  planes,  en  ne  prenant  pour  base 
que  quelques  principes  fort  simples  des  projections. 
Le  grand  ouvrage  de  Monge  sur  l'analyse  appliquée  à  la  géo- 
métrie avait  été  pour  Brasseur  l'objet  de  l'étude  la  plus  appro- 
fondie, et  il  s'attachait  particulièrement  aux  lignes  de  cour- 
bure DES  surfaces.  La  manière  dont  Monge  représentait  par 
l'analyse  toute  une  famille  de  surfaces  amena  Brasseur  à  re- 
chercher s'il  ne  pourrait  pas  exprimer  de  même  les  lignes  de 
courbure  de  toute  une  famille,  et  il  y  réussit  pour  le  cas  où  leur 
équation  se  décompose  en  deux  facteurs  rationnels,  ce  qui  a 
lieu  pour  les  cylindres,  les  cônes,  les  surfaces  de  révolution  et 
les  surfaces  développables. 
Ce  travail,  publié  en  1845,  témoigne  combien  l'éminent  pro- 
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