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part  et  d'autre,  les  tensions  sont  les  mêmes  pour  les  poinls 
où  les  tangentes  ont  la  même  direction. 
Dans  uue  note  additionnelle,  l'auteur  emprunte  à  M.  Bresse 
les  résultats  d'un  travail  publié  en  1853,  dans  le  Journal 
de  V École  polytechnique,  et  les  fait  rentrer  dans  sa  Théorie 
géométrique  des  centres  et  des  rayons  de  courbure,  par  la 
suppression  des  notions  inGnilésimales. 
Dans  une  autre  note  additionnelle,  il  revient  d'abord,  avec 
quelques  modifications  dans  la  forme,  sur  des  notions  dojà 
exposées.  Il  remarque  ensuite  qu'un  point  assujetti,  pendant 
la  description  de  la  courbe,  à  rester  toujours  sur  la  normale 
et  à  coïncider  toujours  avec  le  centre  du  cercle  oscillateur, 
décrirait  une  courbe,  lieu  géométrique  des  centres  de  cour- 
bure de  la  courbe  donnée.  Ce  lieu  géométrique  prend  le  nom 
de  développée  par  rapport  à  la  courbe  donnée,  qui  s'appelle 
alors  développante.  De  ce  mode  de  génération  résultent  im- 
médiatement les  propriétés  des  développantes  et  des  dévelop- 
pées. 
L'auteur  s'occupe  ensuite  de  la  détermination  géométrique 
des  conditions  relatives  aux  contacts  des  ordres  supérieurs, 
définis  par  cette  propriété  :  que  le  contact  de  l'ordre  n  eaftre 
les  développées  implique  un  contact  de  l'ordre  n  ■+■  I  ontro 
les  développantes  et  réciproquement.  Il  démontre  très-sim- 
plement qu'en  général,  deux  courbes  tangentes  entre  elles  se 
coupent,  ou  ne  se  coupent  pas,  au  point  où  eiles  se  touclioni, 
suivant  que  leur  contact  est  d'ordre  pair  ou  d'ordre  impair; 
et  qu'entre  deux  courbes  dont  le  contact  est  d'ordre  n,  on 
n'en  peut  mener  aucune  ayant  un  contact  d'ordre  Inférieur. 
Il  fait  ensuite  un  grand  nombre  d'applications  à  diverses 
courbes  et  en  particulier  à  la  spirale  dos  ponis-ltvis  du 
système  Derché.  Il  démontre  que  cette  spiral»'  wi  BQfl  «levé- 
