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Après  avoir  donné  dis  démonstrations  simples  et  directes 
de  plusieurs  théorèmes  relatifs  aux  surfaces  gauches,  énon- 
cés par  M.  Chasles  [Corr.  math,  et  ph.,  t  XI),  l'auteur  s'oc- 
cupe de  la  courbure  des  surfaces  gauches  et  trouve  plusieurs 
propriétés  curieuses  des  rayons  de  courbure  principaux ,  en 
un  point  quelconque  d'une  génératrice,  entre  autres  celle-ci: 
Si,  par  une  génératrice,  on  fait  passer  deux  plans  perpen- 
diculaires entre  eux,  ils  touchent  la  surface  en  deux  points 
C,  D,  tels  que  le  rectangle  des  distances  MC,MD,est  constant 
et  égal  au  produit  R'  R"  des  rayons  de  courbure  principaux 
au  point  central  IW.  Le  point  central  d'une  génératrice  d'une 
surface  gauche  est  celui  pour  lequel  le  produit  des  rayons  de 
courbure  principaux  est  un  minimum. 
Il  détermine  directement  le  rayon  de  courbure .  dans  les 
sections  normales  perpendiculaires  à  la  génératrice. 
Lamarle  s'occupe  alors  de  la  courbure  des  surfaces  déve- 
loppâmes, puis  de  la  détermination  des  surfaces  réglées  à 
jb  +  jp    .constante, et, généralisant 
un  théorème  de  M.  Catalan  (Journal  de  M.  Liouville,  t.  VU), 
relatif  au  cas  de  la  courbure  moyenne  nulle,  il  démontre,  par 
une  méthode  purement  géométrique,  qu'il  n'existe  pas  d'au- 
tres surfaces  réglées  à  courbure  moyenne  constante  que  le 
plan,  le  cylindre  droit  à  base  circulaire  et  l'héliçoïde  gauche 
à  plan  directeur. 
Il  traite  ensuite  de  la  courbure  de  l'hyperboloïde  à  une 
nappe,  et  des  surfaces  réglées,  engendrées  par  une  droite  qui 
s'appuie  sur  trois  directrices  rectilignes. 
Il  recherche  enfin  la  ligne  de  striction,  c'est-à-dire  le  lion 
des  points  centraux,  dans  le  paraboloïde  hyperbolique. 
A|  pliquant  sa  théorie  à  une  droite  mobile,  il  démontre  que 
courbure  moyenne 
