(  232  ) 
revenir  maintenant  sur  la  partie  analytique,  qui  a  été  déve- 
loppée dans  plusieurs  autres  mémoires  de  l'auteur. 
Nous  n'insisterons  que  sur  deux  points  :  l'existence  de  la 
dérivée  dans  les  fonctions  continues;  la  convergence  des 
séries  de  Taylor  et  de  Mac-Laurin,  pour  le  développement 
d'une  fonction  donnée. 
La  première  question  se  trouve  tranchée  par  l'auteur,  au 
moyen  de  la  définition  même  d'une  différentielle;  la  différen- 
tielle étant  une  vitesse,  c'est-à-dire  une  quantité  finie  et 
déterminée  (d'après  l'auteur),  la  dérivée,  qui  est  le  rapport 
de  deux  différentielles,  est  aussi  une  quantité  déterminée  à 
chaque  instant.  Mais  nous  avons  déjà  expliqué  (p.  223)  pour- 
quoi cette  conception  ne  peut  plus  être  admise  aujour- 
d'hui. 
Dans  un  mémoire,  inséré  parmi  ceux  des  membres  de 
l'Académie  pour  1855,  et  résumé  dans  le  Bulletin  de  1854, 
l'auteur  a  attaqué  la  question  des  dérivées  au  point  de  vue 
purement  analytique. 
La  fonction  y  =  f(x)  étaut  supposée  continue,  il  est  visi- 
ble que  si  l'on  l'ait  décroître  indéfiniment  l'accroissement  ht 
le  rapport 
f(x  +  M  —  f[x)_  ày 
h  Ax 
se  trouve  assujetti  à  subir  l'une  ou  l'autre  des  cinq  conditions 
suivantes  : 
1°  Demeurer  constant; 
2°  Converger  vers  une  limite  constante  ou  nulle; 
3°  Croître  sans  limite; 
4°  Osciller  sans  fin  entre  plusieurs  limites  distinctes; 
5"  Converger  vers  une  limite  qui  dépend  de  la  valeur  attri- 
buée à  la  variable  u-  H  change  ifec  cette  valeur. 
