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L'auteur  croit  démontrer  qu'abstraction  faite  du  cas  par- 
ticulier où  la  fonction  y  est  linéaire  et  où  la  condition  1°  se 
réalise  d'une  manière  permanente,  aucune  des  quatre  pre- 
mières conditions  n'est  jamais  possible  que  pour  certaines 
valeurs  de  la  variable  conservant  entre  elles  des  écarts  dé- 
terminés. Il  en  conclut  que  la  condition  5"  subsiste  seule 
d'une  manière  générale  et  permanente. 
Les  travaux  de  Riemann,  de  M.  Weirstrass  et  de  leurs 
disciples  ont  fait  connaître  les  restrictions  importantes  que 
cette  conclusion  doit  subir. 
La  seconde  des  grandes  questions  analytiques  traitées  par 
notre  confrère  est  relative  à  la  convergence  de  la  série  de 
Mac-Laurin. 
Parmi  les  développements  en  nombre  infini  qui  peuvent 
servir  à  représenter  les  fonctions,  le  plus  simple  est  le  dé- 
veloppement ordonné  suivant  les  puissances  ascendantes 
entières  et  positives  de  la  variable. 
Il  consiste  dans  l'égalité  suivante  : 
x- 
f(x)  =  f(0)  +  xf'(0)+ /-"(O)-f-... 
i.2 
Celte  formule,  que  l'on  doit  à  Mac-Laurin,  a  d'abord  été 
admise  pour  toute  espèce  de  fonctions  et  pour  toutes  les 
valeurs  de  la  variable,  mais  on  a  bientôt  reconnu  la  néces- 
sité d'en  restreindre  la  généralité,  en  observant  que,  dans 
certains  cas,  la  série  du  second  membre  était  divergente. 
On  a  cherché  alors  l'expression  du  reste  complémentaire 
de  la  série,  et  de  cette  manière  il  a  été  possible  de  légitimer 
dans  les  applications  l'emploi  de  la  formule.  Toutefois  la 
question  n'était  pas  encore  complètement  épuisée  :  il  restait 
en  effet  à  trouver  des  caractères  généraux  propres  à  indi- 
20. 
