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quer  si  le  développement  indéfini  pouvait  ou  non  être  sub- 
stitué à  la  fonciion.  C'est  ce  qui  a  été  fait  par  Cauchy. 
Dans  un  travail  publié  à  Turin  en  1851,  et  plus  tard  dans 
différents  mémoires  insérés  dans  les  Nouveaux  exercices  de 
mathématiques  et  dans  les  Comptes  rendus  de  l'Académie 
des  sciences  de  Paris,rillustre  géomètre  a  démontré  le  théo- 
rème suivant  : 
Toute  fonction  f  (x)  de  la  variable  réelle  ou  imaginaire  x 
est  développable  en  une  série  convergente  ordonnée  suivant 
les  puissances  ascendantes  entières  et  positives  de  x,  si  le 
module  (1)  de  celte  variable  conserve  une  valeur  inférieure  à 
celle  pour  laquelle  la  fonciion  ou  sa  dérivée  cesse  d'être  unie 
et  continue. 
Après  avoir  appliqué  son  théorème  à  quelques  cas  par- 
ticuliers, Cauchy  ajoute  :  «  Nous  remarquerons  en  finissant 
que  les  fonctions  ci-dessus  prises  pour  exemples,  et  leurs 
dérivées  du  premier  ordre,  deviennent  toujours  infinies  ou 
discontinues  pour  les  mêmes  valeurs  du  module  de  la  varia- 
ble indépendante  Si  l'on  était  assuré  qu'il  en  fut  toujours 
ainsi,  on  pourrait,  dans  le  théorème  énoncé,  se  dispenser  de 
parler  de  la  fonction  dérivée;  mais  comme  on  n'a  point  à  cet 
égard  une  certitude  suffisante,  il  est  plus  rigoureux  d'énon- 
cer le  théorème  dans  les  termes  dont  nous  nous  sommes 
servi  plus  haut.  » 
Cette  observation  de  l'illustre  géomètre  montrait  déjà 
qu'il  ne  considérait  pas  lui-même  son  énoncé  comme  com- 
plet et  définitif  D'ailleurs,  pour  que  cet  énoncé  possédât  ces 
qualité*,  il  lui  manquait  deux  autres  conditions  :  1°  il  ne 
définit  pas  assez  clairement  par  lui-même  la  continuité  de 
I)  On  sait  quele«noduleder  =  o-4-6V/—  t  Ml  r       1   «-  -+-  6*. 
