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la  fonction  f  (x);  celle  fonction  peut-elle,  par  exemple,  ad- 
mettre plusieurs  valeurs  pour  une  même  valeur  de  x,  lout  en 
restant  continue?  2°  il  n'a  pas  ou  ne  semble  pas  avoir  de 
réciproque. 
Ces  défauts, apparents  ou  réels,  ont  donné  lieu  à  de  nou- 
velles études  de  la  part  de  plusieurs  géomètres. 
Dans  deux  notes  sur  un  théorème  de  Cauchy  relatif  au 
développement  des  fonctions  en  séries  et  sur  la  convergence 
de  la  série  de  Taylor,  Lamarle  arrive  aux  conclusions  sui- 
vantes : 
Pour  qu'une  fonction  f  (x)  soit  développable,  suivant  la 
formule  de  Mac-Laurin,  en  série  convergente,  les  deux  con- 
ditions qui  suivent  sont  nécessaires  et  suffisantes  : 
1°  Que  le  module  de  la  variable  reste  moindre  que  la 
plus  petite  des  valeurs  pour  lesquelles  la  fonction  cesse 
d'être  continue. 
2°  Que  si  l'on  fait  x  =  ree%/-{,  et  que  Ton  cherche  f  (r,0), 
à  (r,  0),  telles  que 
f{reBV~)  =  f  (r,  0)  4-  ?  (r,  0)  t/"=T, 
les  valeurs  de  f  et  de  ^  soient  les  mêmes  sous  0  =  0  que 
sous  0  =  2a\  pour  toutes  les  valeurs  de  r  comprises  dans  les 
limites  entre  lesquelles  on  veut  se  servir  de  la  formule. 
Pour  appliquer  l'énoncé  précédent  à  la  série  de  Taylor,  il 
faut,  dans  celte  dernière  série  : 
?(x  +  h)  =  f{x)  +  h  r  {x)  4-  ..-., 
considérer  h  comme  la  variable  et  x  comme  une  constante. 
Elle  rentre  alors  dans  la  formule  de  Mac-Laurin. 
