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minée,  d'un  même  chiffre  quelconque,  et  pour  diviseur  un 
nombre  impair  quelconque  non  terminé  par  un  o,  la  division 
s'effectuera  nécessairement,  et  l'on  aura  un  quotient  exact 
avec  un  dividende  limité. 
Il  montre  enfin  qu'on  peut  former  une  très  grande  quan- 
tité de  couples  différents  de  facteurs,  couples  donl  chacun 
aura  pour  produit  un  chiffre  composé  par  exemple  de  12, 
18 chiffres  1. 
Les  deux  petites  Notes  publiées  à  ce  sujet  en  1863  et  1874 
ont  beaucoup  intéressé  les  savants  et  provoqué  d'auires 
recherches  curieuses. 
Mais  là  ne  se  sont  pas  bornées  ses  publications  purement 
mathématiques  :  il  est  parvenu  à  signaler  aux  géomètres  des 
exemples  bizarres  de  discontinuité  en  analyse:  tantôt  il  trouve 
lé  moyen  de  représenter  une  suite  de  points  isolés  nettement 
séparés  par  des  intervalles  finis  et  rangés  suivant  une  ligne 
courbe  donnée  d'avance  ;  tantôt  il  prouve  qu'on  peut  obtenir 
autant  de  courbes  qu'on  voudra,  jouissant  de  la  propriété  de 
s'arrêter  brusquement  en  deux  de  leurs  points;  tantôt  enfin 
il  déduit  d'une  courbe  qui  a  un  point  multiple  à  tangentes 
distinctes,  une  autre  courbe  ayant  un  point  saillant. 
Le  dernier  procédé  l'a  conduit  à  une  jolie  petite  décou- 
verte en  analyse  :  il  a  démontré  l'existence  d'une  espèce 
toute  nouvelle  de  points  singuliers  qu'il  a  appelés  points  de 
dédoublement  :  ce  qui  caractérise  un  pareil  point,  c'est  qu'en 
deçà,  la  courbe  n'a  qu'une  seule  branche,  tandis  qu'au  delà 
elle  en  a  deux  qui  s'étendent  à  l'infini  ou  bien  forment  une 
espèce  de  boucle  après  s'être  réunis  à  une  distance  finie; 
Tune  au  moins  de  ces  branches  est  d'ailleurs  le  prolonge- 
ment de  la  branche  unique  signalée  d'abord. 
Ce  qui  augmentait    singulièrement  la    ditlicullé  de  se 
