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I.  Si  la  somme  des  carrés  des  erreurs  véritables  est  un 
minimum,  la  somme  des  carrés  des  erreurs  virtuelles  est 
aussi  un  minimum,  les  erreurs  virtuelles  étant  les  quan- 
tités qui  se  trouvent  dans  les  seconds  membres  des  équa- 
tions auxiliaires,  lesquels  sont  nuls  dam  le  cas  des 
erreurs  véritables. 
II.  Si  Ton  a  un  système  d 'équations  linéaires  en  x.  y. 
z.  etc.,  et  qu'on  élimine  x  entre  ces  équations  prises  deux 
à  deux  de  toutes  les  manières  possibles,  par  la  théorie  des 
déterminants ,  les  nouvelles  équations  obtenues,  traitées 
par  la  méthode  des  moindres  carrés,  donnent  pour  y,  7. 
les  mêmes  valeurs  que  les  équations  primitives,  traitées 
par  la  même  méthode (*). 
III. 
DETERMINANTS  ET   INTEGRALES   MULTIPLES. 
Vers  l'époque  où  Catalan  écrivait  ses  premiers  Mémoires 
sur  le  calcul  des  probabilités,  l'Académie  de  Belgique 
mit  au  concours  une  question  d'analyse  algébrique,  dont 
le  sujet  était  laissé  au  choix  du  concurrent.  Le  jeune  pro- 
fesseur de  Sainte-Barbe  descendit  dans  la  lice  avec  un 
mémoire  contenant  la  Théorie  générale  de  la  transforma- 
tion des  intégrales  multiples.  Ce  travail  fut  couronné  en 
('}  Ce  dernier  théorème  nous  a  suggéré  un  théorème  plus  géné- 
ral que  nous  avons  publié  dans  une  A'ofe  sur  la  méthode  des 
moindres  carrés,  (3),  BB.,  IX,  pp.  9-44, 
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