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1840  et  publié  presque  immédiatement  ('*).  En  1846,  il  fit 
paraître,  dans  les  Bulletins  de  l'Académie,  un  Mémoire 
moins  étendu,  qui  était  le  complément  du  premier  (,5). 
Dans  ces  deux  écrits,  Catalan  fait  connaître  d'abord  les 
principe  fondamentaux  de  la  théorie  des  déterminants, 
doctrine  féconde  et  destinée  à  un  grand  avenir,  mais 
alors  à  peine  connue  et  à  peine  employée,  sauf  par  Cau- 
chy,  Jacobi,  Reiss  et  Lebesgue.  Il  simplifie  considérable- 
ment l'exposé  des  propriétés  fondamentales  des  détermi- 
nants, grâce  à  l'emploi  d'une  notation  ingénieuse,  due  à 
Caucby,  paraît-il,  mais  [qui  était  loin  d'être  classique,  à 
cette  époque.  Outre  la  théorie  générale,  il  fait  connaître 
deux  théorèmes  nouveaux,  l'un  qui  est  la  généralisation 
d'une  célèbre  identité  de  Lagrange,  l'autre  que  l'on 
énonce  aujourd'hui  de  la  manière  suivante  :  Un  circulant 
est  égal,  en  valeur  absolue,  à  la  somme  de  ses  éléments, 
multiplié  par  le  déterminant  per symétrique  ayant  pour 
éléments  les  différences  successives  des  éléments  du  cir- 
culant. 
La  transformation  générale  des  intégrales  est  ensuite 
exposée  avec  une  rare  élégance,  grâce  à  l'heureuse  idée 
qu'a  eue  Catalan  de  laisser  sous  forme  implicite,  les  rela- 
tions entre  les  anciennes  variables  et  les  nouvelles. 
Les  deux  Mémoires  se  terminent  par  de  belles  applica- 
tions à  diverses  intégrales.  L'auteur  généralise  les  coor- 
données elliptiques  de  Lamé  et  arrive,  sur  certaines  inté- 
grales hyperelliptiques,  à  des  théorèmes  très  généraux, 
(»*)  MCB.,  XIV,  1-50. 
(M)  BB.  (I),  XIII,  S34-555. 
