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Catalan,  d'avant  1852,  se  distinguent  encore  deux 
mémoires  publiés  dans  le  Journal  de  Liouville,  et  relatifs 
à  une  théorie  où  il  devait  plus  lard  briller  au  premier 
rang,  la  théorie  des  séries.  Dans  le  premier,  il  établit, 
d'une  manière  rigoureuse,  le  célèbre  théorème  de  Gold- 
baeh  :  La  somme  des  inverses  de  la  différence,  avec,  l'unité, 
de  tous  les  nombre»  entiers  i/ui  tout  îles  puissance 
égale  à  l'unité  (K).  La  méthode  de  démonstration  est  ingé- 
nieuse et  donne  à  l'autour  la  somme  de  plusieurs  M 
analogues  à  celle  de  Goldbach.  C'est  à  cette  époque  que 
Catalan  a  propose  aux  géomètres  son'  célèbre  théorème 
empirique  :  Zéro  et  l'unité,  Unit  et  neuf,  sont  les  seuls 
couples  de  nombres  entiers  consécutifs  qui  soient  des  puis- 
sances exactes  (u).  Dans  le  second  mémoire  (*> ,  ipii  date 
de  1844.  notre  auteur  obtient,  pour  tous  les  cas,  les  con- 
ditions de  convergence  d'une  série  que  l'on  peut  appeler 
le  binôme  d'Euler.  Il  est  impossible  de  donner  ici,  en 
langage  vulgaire,  la  moindre  idée  de  la  formule  démon- 
trée par  Catalan. 
V. 
RECHERCHES  SIR  LES  ÉLASSOÏDES  ET  AUTRES  MÉMOIRES 
GÉOMÉTRIQUES. 
Dans  la  plupart  des  travaux  de  Catalan,  dont  nous  avons 
parlé  jusqu'à  présent,  le  but  est  le  plus  souvent  l'analyse. 
(»)  L.,  (I),  VII,  1-1-J. 
(**)  Journal  de  Crelle,  XXVII,  192;  MSL,  40-11;  Mm.,  I.  42-43. 
(*S)  L.,  (I),  IX,  161-174. 
