(  1*2  ) 
sur  les  surfaces  gauches  à  plan  directeur,  qu'il  publia  en 
même  temps  que  celui  que  nous  venons  d'analyser,  il 
trouva,  outre  divers  résultats  dignes  d'intérêt,  l'équation 
finie  des  lignes  de  courbure  du  eonoïde  hélicoïdal  et 
établit  de  nouveau  le  théorème  de  Dupin,  depuis  étendu 
par  M.  Roberts  à  tous  les  élassoïdes,  savoir  que,  sur 
cette  surface,  les  lignes  asymptotiques  font  un  angle  de 
quarante-cinq  degrés  avec  les  lignes  de  courbure. 
Douze  ans  plus  tard,  Catalan  reprit  de  nouveau  la  ques- 
tion, et,  presque  en  même  temps  qu'Ossian  Bonnet,  il 
résolut  un  problème  qui  avait  résisté  jusqu'alors  aux 
efforts  des  géomètres  :  il  découvrit  des  élassoïdes  algé- 
briques (*9).  La  méthode  qui  l'a  conduit  à  ces  nouveaux 
résultats,  et  aussi  à  une  nouvelle  forme  de  l'équation  finie 
des  élassoïdes,  est  digne  d'attention.  Il  soumet  l'équation 
de  Lagrange  à  diverses  transformations  de  variables  qui 
permettent  de  l'intégrer  par  une  somme  de  deux  fonctions, 
dont  chacune  ne  dépend  plus  que  d'une  seule  lettre.  Il 
retrouve  ainsi  plusieurs  surfaces  de  Scherk,  entre  autres 
la  première,  dont  il  décrit  la  forme  et  la  génération,  de 
manière  à  permettre  à  Plateau  de  la  réaliser  expérimen- 
talement; puis  divers  élassoïdes  nouveaux  parmi  lesquels 
le  remarquable  paraboloïde  cycloïdal,  qui  jouit  de  la  pro- 
priété curieuse  de  contenir  une  infinité  de  courbes  algé- 
briques, quoique  ce  soit  une  surface  transcendante. 
Nous  lasserions  la  patience  de  nos  lecteurs  longtemps 
avant  d'avoir  épuisé  notre  sujet,  si  nous  voulions  analyser 
les  autres  questions  géométriques  traitées  par  Catalan 
(*»)  CR.,  XLI,  35-38,  274-276,  1019-1023, 1155;  EP„  XXI,  37» 
cahier,  129-168. 
