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points  de  détail^  l'enseignement  traditionnel  de  la  géo- 
métrie ;  il  substitue  partout,  par  exemple,  la  méthode 
des  limites  aux  méthodes  plus  lentes  des  anciens  et  de 
Legendre.  Mais  ce  n'est  pas  là  ce  qui  est  vraiment 
original  dans  son  ouvrage.  Ce  qui  le  caractérise  essen- 
tiellement, au  point  de  vue  philosophique,  c'est  la 
manière  dont  sont  définies  les  longueurs  des  lignes 
courbes,  les  aires  des  surfaces  courbes  ou  des  surfaces 
planes  terminées  par  des  courbes,  et  les  volumes  des 
corps  ronds.  Pour  lui,  «  l'aire  d'une  figure  plane  ter- 
minée par  une  courbe  est  la  limite  des  aires  que  l'on 
obtient,  en  inscrivant  à  cette  courbe  une  série  de  poly- 
gones convexes  dont  les  côtés  diminuent  indéfiniment, 
de  manière  à  devenir  moindres  que  toute  grandeur 
donnée  ».  Cette  limite  est  unique  d'ailleurs,  d'après  un 
théorème  de  Newton,  retrouvé  par  Cauchy.  L'auteur 
définit  de  même  les  longueurs  des  lignes  courbes,  les 
aires  des  surfaces  courbes,  etc. 
Cette  idée  nouvelle  de  Catalan  scandalisa  ses  collègues 
de  1843.  L'un  deux  disait,  à  cette  époque,  en  parlant  de 
la  Géométrie  :  «  Peut-être  trouvera-t-un  que  l'auteur  a  été 
trop  loin  en  introduisant  l'idée  de  limite  dans  les  défini- 
tions mêmes  3Sj  ».  L'impression  générale  fut  que,  en 
effet,  il  avait  été  trop  loin.  Sous  l'influence  des  écrits  de 
Duhamel,  la  manière  de  voir  de  Catalan  ne  fut  admise 
qu'à  moitié,  c'est-à-dire  pour  les  longueurs  et  les  aires 
courbes,  mais  non  pour  les  aires  planes  et  les  volumes. 
Hais  à  la  fin,  la  logique  a  triomphé,  grâce  surtout  à  la 
publication  de  la  seconde  édition  des  Éléments  de  géo- 
(«)  Thibault,  NAM.,  (I),  III,  383-384. 
