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mêtrie  en  1865,  qui  a  révélé  à  beaucoup  de  professeurs 
les  vues  complètes  de  Catalan  sur  ce  point.  Aujourd'hui, 
tout  le  monde  admet  qu'il  faut,  dans  l'exposition  de  la 
géométrie,  ou  bien  revenir  à  la  méthode  euclidienne,  ou 
bien  y  employer  systématiquement  l'arithmétique  et 
l'algèbre,  et,  dès  lors,  introduire  la  notion  de  limite  dans 
les  définitions,  même  pour  l'aire  du  triangle  et  le  volume 
de  la  pyramide. 
Mais  cela  suppose,  dira-t-on,  toute  une  théorie  préli- 
minaire des  nombres  incommensurables.  Sans  doute. 
Et,  précisément,  au  point  de  vue  philosophique,  le  mérite 
principal  de  son  petit  Manuel  d'Arithmétique  et  d'Algèbre, 
c'est  d'avoir  exposé  cette  théorie,  comme  il  le  fallait,  il 
y  a  quarante  ans,  à  une  époque  où  personne  n'y  songeait. 
Dans  ce  petit  ouvrage,  qu'il  faut  compléter  par  les  pre- 
miers chapitres  du  Manuel  des  candidats  à  l'École  poly- 
technique, Catalan  définit  d'abord,  avec  Cauchy,  le 
nombre  incommensurable,  comme  la  limite  d'une  suite 
de  nombres  commensurables;  il  s'aide,  auxiliairement 
au  moins,  d'une  représentation  géométrique,  pour  faire 
saisir  l'existence  de  cette  limite.  Ensuite  (et  c'est  ce  qu'il 
y  a  d'original  dans  sa  manière  de  voir),  il  transporte  de 
nouveau  l'idée  de  limite  dans  la  définition  d'un  produit 
de  deux  incommensurables  en  disant  que  c'est  la  limite 
du  produit  des  nombres  commensurables  dont  les  fac- 
teurs sont  les  limites.  Plus  tard,  Heine,  Dedekind, 
G.  Cantor,  Lipschitz  et,  après  eux,  beaucoup  d'autres, 
ont  développé  des  idées  semblables,  sans  se  douter, 
semble-t-il,  que  notre  collègue  les  avaient  devancés  dans 
son  Arithmétique. 
Nous  devons  signaler,  absolument  dans  le  même  ordre 
