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à  peu,  il  imagina  la  construction  d'une  sorte  d'échiquier 
dont  les  pièces,  disposées  d'après  certaines  règles, 
correspondent  aux  éléments  du  polyèdre  supposé;  si 
toutes  ces  pièces  ne  peuvent  être  placées,  le  polyèdre 
n'existe  pas.  Cette  ingénieuse  découverte  ramenait  la 
théorie  de  la  possibilité  des  polyèdres  a  l'analyse  indé- 
terminée du  premier  degré  et  a  un  problème  analogue  a 
celui  de  Cavalier,  du  Solitaire,  etc. 
Catalan  expose,  dans  son  Mémoire,  cette  réduction  de 
la  question,  eu  la  faisant  précéder  d'une  discussion 
originale  et  très  complète  des  conséquences  de  la  célèbre 
formule  de  Descartes  et  d'Euler,  sur  la  relation  qui  existe 
entre  les  nombres  d'arêtes,  de  faces  et  de  sommets  d'un 
polyèdre.  Nulle  part,  croyons-nous,  il  n'a  été  plus  clair. 
plus  simple  et  plus  concis  que  dans  cette  première  partie 
du  travail  (pie  nous  analysons. 
La  seconde  est  une  monographie  des  polyèdres  semi- 
réguliers,  c'est-à-dire  ayant  des  faces  régulières  el  de- 
angles  égaux  ou  des  angles  réguliers  et  <le>  faces  égales. 
Pappus  a  fait  connaître  sommairement,  et  Kepler  a  décrit, 
en  quelques  pages,  treize  polyèdres  semi-réguliers  du 
premier  genre  dont  l'invention  remonte  à  Archimède 
[Harmonia  mundi,  II,  28;  Œuvra,  Y.  113-126).  Lidonne 
(Tables  de  t<>u<  les  diviseurs  des  Sombres,  calculés  depuis 
un  jusqtTà  cent  deux  mille.  Paris.  in-8°.  1808;  voir 
pp.  183-218)  en  fit  aussi  un  catalogue  assez  informe,  en 
ajoutant  treize  fois,  aux  données  de  Pappus  et  de  Kepler, 
cette  proposition  fausse  :  Les  polyèdres  d' Archimède  sont 
à  la  fois  inscriptibles  et  circ<>nscriptible.<  à  une  sphère  ('). 
"  Il  affirme  aussi  qu'il  ne  peut  y  avoir  plus  de  treize  polyèdres 
semi-réguliers  p.  ' 
