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corrige  divers  résultats  de  Legendre  sur  les  équations 
modulaires,  les  intégrales  de  troisième  espèce,  etc. 
Trois  autres  notes  sur  l'addition  des  fonctions  ellip- 
tiques, la  transformation  de  Landen  et  l'interprétation 
géométrique  que  l'on  en  peut  donner,  sont  aussi  très 
intéressantes  (,13).  C'est  dans  la  première  que  Catalan  a 
établi  que  l'équation  différentielle  elliptique  peut  se 
ramener  à  une  équation  de  Clairaut.  Cette  réduction  a 
paru  si  ingénieuse  à  l'illustre  Cayley,  qu'il  l'expose  dès 
les  premières  pages  de  son  Traité  des  fonctions  ellip- 
tiques. Mais  il  l'attribue  à  M.  Walton,  qui  ne  l'a  publiée 
qu'un  an  après  notre  savant  collègue. 
Mais  le  plus  beau  travail  d'analyse  de  Catalan  sur  les 
fonctions  elliptiques  et  probablement  le  plus  remarquable 
de  tous  les  Mémoires  qu'il  ait  écrits  depuis  vingt  ans,  ce 
sont  ses  Recherches  sur  quelques  produits  infinis{6i).  Tous 
ceux  qui  ont  quelque  teinture  d'analyse  supérieure  con- 
naissent, au  moins  de  nom,  les  Fundamenta  de  Jacobi. 
La  seconde  partie  de  cet  ouvrage  immortel  contient  les 
développements  en  série  et  en  produits  infinis  des  fonc- 
tions thêta  et  d'une  foule  de  quantités  qui  en  dépendent. 
Le  rapprochement  de  divers  développements  obtenus 
conduit  Jacobi  à  des  théorèmes  d'arithmétique  supé- 
rieure, sans  aucune  connexion  apparente  avec  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques,  celui-ci.   par  exemple  :   tout 
(6î)  BB,  (2),  XXVII,  448-481;  CR.,  LXXV1II,  1479-4481;  MB., 
XLU,  Notes,  29-32;  MB.,  XLV,  4-20. 
(G»)  MB.,  XL,  4-127;  comp.  MM.,  486-487  ou  Mm.,  I,  170  171; 
N'AM.,  (2),  XIII,  818-823.  Voir  notes  72  et  70,  l'indication  d'autres 
recherches  sur  les  fonctions  et  les  séries  elliptiques. 
