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nombre  entier  est  un  carré,  ou  la  somme  «le  deux,  trois 
ou  quatre  carrés. 
C'est  dans  cette  région,  d'abord  difficile,  où  la  baute 
analyse  et  l'arithmétique  supérieure  se  touchent,  que 
Catalan  a  pénétré  et  d'où  il  a  rapporté  une  ample  mois- 
son de- faits  nouveaux.  L'idée  mère  qui  lui  a  servi  dans 
si's  Recherches  sur  quelques  produits  infinis  est  d'une 
simplicité  extrême.  Il  décompose  les  expressions  à  étu- 
dier en  un  produit  de  plusieurs  expressions  de  même 
genre.  Les  facteurs  et  leur  produit  étant  transformés  en 
séries,  il  obtient  un  produit  de  plusieurs  suites  intimer 
égal  à  une  autre  suite  infinie,  résultat  d'où  découlent  tout 
naturellement  une  foule  d'identités.  A  chacune  d'elles 
correspond  un  théorème  d'arithmétique  supérieure.  En 
voici  un  comme  spécimen  :  Quand  un  nombre  n'est  pas 
pentagonal,  il  admet  autant  de  décompositions  en  un 
nombre  pair  qu'en  un  nombre  impair  de  parties  inégales. 
Le  Mémoire  contient  plus  de  quatre  cents  formules  numé- 
rotées, plus  ou  moins  importantes,  et  les  Mémoires  ulté- 
rieurs de  l'auteur  en  renferment  peut-être  encore  une 
centaine;  car  il  est  revenu  à  plusieurs  reprises  sur  ce 
sujet,  pour  ainsi  dire  inépuisable,  entre  autres  dans  son 
écrit  sur  la  constante  d'Kuler. 
Tels  sont,  avec  les  Mémoires  SUT  le  calcul  des  proba- 
bilités cités  au  début  de  cette  étude,  les  principaux  écrits 
de  Catalan  sur  l'analyse  et  la  théorie  des  nombres,  pen- 
dant la  période  qui  nous  occupe.  L'auteur  des  belles 
recherches  sur  les  élassoïdes  et  les  polyèdres  semi-régu- 
liers ne  pouvait  pas  non  plus  délaisser  la  géométrie. 
\u<si  ne  l'a-t-il  pas  fait.  Il  est  revenu,  encore  une  lois,  a 
