(  166  ) 
d'innombrables  relations  algébriques  ou  différentielles 
entre  les  X„  d'indices  différents;  il  obtient  de  nouvelles 
intégrales  définies,  de  nouvelles  séries,  de  nouveaux  pro- 
duits infinis;  il  étudie  les  polynômes  d'Hermite  et  ceux 
de  Polignac  après  les  fonctions  X„  de  Legendre.  Il  se  joue 
des  difficultés  avec  une  habileté  consommée  au  milieu  de 
ces  formidables  formules  analytiques  qu'il  rapproche, 
combine  et  compare  de  manière  à  en  faire  jaillir  sans 
cesse  de  nouveaux  résultats.  Il  y  a  telle  expression  nou- 
velle de  X„,  nouvelle  probablement  et  éminemment 
féconde,  qu'il  a  trouvée  dans  sou  septième  Mémoire  seu- 
lement et  qui  lui  a  permis  de  manier  les  X„  avec  une  faci- 
lité inespérée. 
Catalan  ne  s'arracha  qu'avec  peine  à  l'étude  des  fonc- 
tions X„.  Il  ne  les  abandonna  que  pour  reprendre  ses 
recherches  sur  l'arithmétique  supérieure.  Le  14  octo- 
bre 1893,  il  présente  à  l'Académie  ses  Remarques  sur  la 
théorie  (tes  nombres  et  sur  les  fractions  continues  que 
nous  avons  citées  plus  haut.  Le  6  janvier  1894,  il  fait  une 
communication  sur  des  décompositions  en  carrés  (");  le 
3  février,  il  assiste  encore  à  la  réunion  de  la  Classe  des 
sciences  et  donne  une  courte  Note  sur  la  courbure  (so . 
sujet  sur  lequel  il  est  revenu  bien  des  fois;  le  S  et  6  fé- 
vrier, il  s'occupe  encore  d'analyse  indéterminée,  comme 
le  prouvent  des  indications  rapides  consignées  dans  son 
dernier  cahier  d'études  (*).  Huit  jours  plus  tard,  le  14  fé- 
(*»)  BB.,  (3),  XXVII,  10-15. 
(»<>)  BB.,  (3),  XXVII,  2*0-211. 
(*)  Catalan  nous  a  légué  ses  manuscrits,  parmi  lesquels,  il  y  en 
a  un  certain  nombre  qui  contiennent  presque  tout  son  cours  de 
