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Jamais  personne  n'avait  publié  une  critique  aussi  pro- 
fonde sur  les  principes  de  la  géométrie,  Saccheri,  Lobat- 
chefski  et  Bolyai  exceptés  et  pour  la  théorie  des  paral- 
lèles seulement.  Le  seul  reproche  que  l'on  puisse  faire  à 
De  Tilly,  c'est  d'employer  çà  et  là  la  notion  vague  des 
pseudo-infiniment  petits  de  Poisson;  mais  cela  ne  l'in- 
duit en  aucune  erreur. 
De  Tilly  fait  voir  ou  résout  les  principales  difficultés 
des  éléments  de  géométrie.  Au  fond,  il  définit  très  bien 
la  ligne  droite,  la  longueur  des  lignes  courbes,  l'aire  des 
surfaces  courbes,  comme  s'il  avait  lu  et  médité  Euclide 
et  Archimède;  il  définit  exactement  aussi  l'égalité  des 
rapports  incommensurables,  au  moyen  des  fractions 
continues  illimitées,  k  propos  de  la  mesure  des  angles; 
en  outre,  il  introduit  dans  les  éléments  de  Legendre  une 
foule  d'améliorations  de  détail.  Mais  ce  qu'il  traite  avec 
le  plus  de  soin,  c'est  la  théorie  des  parallèles  à  laquelle 
il  consacre  trente  pages,  soit  le  quart  de  son  livre.  11 
montre  très  bien  les  points  faibles  des  démonstrations 
du  poslulatum  d'Euclide  dues  à  Legendre,  Bertrand  de 
Genève,  Carnot,  Gergonne,  Lamarle;  puis  il  en  propose 
lui-même  une  nouvelle,  basée  sur  cette  proposition:  Il 
existe  un  minimum  différent  de  zéro  pour  la  valeur  de 
l'angle  d'un  triangle  équilaléral  quelque  grands  que 
soient  ses  côtés.  L'essai  de  démonstration  qu'il  donne  de 
ce  théorème  dans  les  pages  101-108  de  l'ouvrage  est  tel- 
lement subtil  qu'on  ne  peut  guère  en  trouver  le  défaut, 
qu3  si  l'on  connaît  la  géométrie  lobatchefskîenne  :  si  l'on 
suppose  que  l'angle  a  d'un  triangle  équilatéral  est  lié, 
comme  dans  cette  géométrie,  au  côté  a  par  la  relation 
cosa  (1  -j-  cha)  =  cha,  l'assertion  finale  de  la  démonstra- 
