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comme  point  de  départ  d'un  exposé  géométrique  au 
fond  identique  au  sien.  Ensuite,  dans  la  traduction  que 
Hoiiel  a  donnée,  en  1866,  des  Études  géométriques  sur  la 
théorie  des  parallèles  de  Lobatchefski,  il  trouva  la 
démonstration  de  ces  formules  ;  ces  démonstrations  sont 
faites  par  le  géomètre  russe,  dans  cet  opuscule,  à  partir 
des  premières  notions  de  la  science  de  l'espace,  avec 
rigueur,  mais  par  un  procédé  différent  de  celui  de 
De  Tilly.  A  partir  de  ce  moment,  ce  dernier  fut  persuadé 
que  la  négation  du  postulatum  d'Euclide  ne  peut  con- 
duire à  aucune  contradiction  en  géométrie  [96].  La  nou- 
velle hypothèse,  transportée  depuis  longtemps  par  De 
Tilly  en  mécanique  rationnelle,  lui  permit  d'édifier  un 
exposé  logique  nouveau  de  cette  dernière  science;  il  le 
présenta  le  i^'  août  1868  à  la  Classe  des  sciences  de 
l'Académie  de  Belgique,  sous  le  titre  :  Études  de  méca- 
nique abstraite  [6]. 
Dans  les  deux  premières  parties  de  cet  ouvrage, 
l'auteur  établit  tous  les  principes  fondamentaux  de  la 
géométrie  lobatchefskienne,  en  partant  de  principes 
cinématiques  à  peu  près  évidents,  parce  que  les  triangles 
infinitésimaux  ont  une  géométrie-limite  euclidienne.  La 
troisième  partie  est  une  cinématique,  la  quatrième  une 
statique,  la  cinquième  une  dynamique  lobatchefskienne, 
toutes  trois  complètes  sur  les  principes.  Comme  dans 
son  Cours  de  mécanique  élémentaire,  en  maints  endroits 
de  son  livre  De  Tilly  s'est  inspiré,  mutatis  mutandis, 
des  idées  de  Lagrange  dans  la  Mécanique  analytique. 
La  composition  des  translations,  des  rotations,  des 
forces  est  beaucoup  plus  compliquée  dans  l'espace 
lobatchefskien  que  dans  l'espace  euclidien,  parce  que 
