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Cassani  [25],  Frischauf  [30],  von  Escherich  [41],  où  il  ren- 
contre diverses  vues  équivalentes  aux  siennes  et  des 
aperçus  sur  la  géométrie  riemannienne  qui  lui  ouvrent 
de  nouveaux  horizons.  11  étudie  aussi  les  idées  de 
Beltrami  sur  les  surfaces  pseudosphériques  [8]  et  surtout 
les  Études  analytiques  sur  la  théorie  des  parallèles  par 
Flye  Sainte-Marie  [13],  ouvrage  mal  composé,  mais 
original  et  digne  d'être  mis  à  côté  de  ceux  de  Lobat- 
chefski,  de  Bolyai  et  des  Études  de  mécanique  abstraite 
de  De  Tilly  lui-même.  Un  mémoire  de  Genocchi,  adressé 
à  l'Académie  de  Belgique,  lui  fait  connaître  des  objec- 
tions spécieuses  contre  la  géométrie  non  euclidienne  et, 
en  même  temps,  des  recherches  anciennes  de  Daviet 
de  Foncenex  (si  elles  ne  sont  de  Lagrange  lui-même), 
sur  l'équilibre  du  levier,  recherches  qui  contiennent 
virtuellement  les  principes  des  trois  géométries,  eucli- 
dienne, lobatchefskienne  et  riemannienne.  Dans  une 
étude  sur  le  mémoire  de  Genocchi  [18],  De  Tilly  examine 
à  fond  la  question  de  la  démontrabilité  du  postulatum 
d'Euclide.  En  s'appuyant  sur  les  recherches  de  Beltrami, 
il  prouve  qu'il  est  impossible  de  le  démontrer  par  des 
constructions  planes  ;  car  des  constructions  semblables 
au  moyen  des  géodésiques  d'une  pseudosphère  condui- 
raient à  ce  théorème  faux  :  La  somme  des  angles  d'un 
triangle  formé  par  trois  géodésiques  de  la  surface  est  égale 
à  deux  droits.  On  suppose,  bien  entendu,  avec  De  Tilly, 
que  la  pseudosphère  est  formée  d'une  infinité  de  feuillets 
enroulés  sur  le  noyau  et  que  les  constructions  sont 
faites  à  une  distance  suffisante  de  l'arête  de  rebrous- 
sement.  En  interprétant  autrement  que  leur  auteur  les 
calculs  de  Flye  Sainte-Marie,  De  Tilly  prouve  par  un 
